28 April 2013

NILAI EIGEN & VEKTOR EIGEN

Definisi A.1:
Jika A matriks berordo (nxn) dan l suatu scalar yang memenuhi persamaan Ax = lx untuk suatu vector kolom tak nol dalam ruang dimensi n, maka :
  1. l disebut nilai eigen (Eigen Value) atau akar-akar karakteristik dari matriks A.
  2. X disebut vector eigen (Eigen Vektor) atau vector karakteristik dari matriks A.
  3. Vektor-vektor eigen x membentuk ruang vector eigen dari A yang bebas linier dan disebut basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen l.
Theorema A.1 :
Jika A adalah matriks berordo nxn maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lainnya :
  1. l adalah nilai eigen dari matriks A.
  2. Sistem persamaan (A - lI ) x = 0 mempunyai penyelesaian non trivial.
  3. Ada vector tak nol x dalam Rn sehingga Ax = lx
  4. l adalah penyelesaian riil dari persamaan eigen : det (A - l I) = 0
Nilai eigen diperoleh dari persamaan :            Ax = l I x
Ax - l I x = 0
(A - l I) x = 0
persamaan tersebut merupakan Persamaan linier Homogen dan mempunyai penyelesaian jika maksimum rank (A-l I) lebih kecil dari banyaknya variable n atau dengan perkataan lain : det (A - l I) = 0
Vector eigen  dan ruang vector Eigen diperoleh dengan mensubstitusikan nilai eigen l ke persamaan Ax = lx
Contoh A.1:
Diketahui matrks      
Tentukan :       a). Persamaan Eigen
b). Nilai Eigen
c). Vektor Eigen
d). Basis Vektor Eigen
J a w a b  :
a).        det (A - l I) = 0
     
   (1 - l) (3 - l) – 8 = 0
  3 – 4l + l2 – 8 = 0
  l2 – 4 l - 5 = 0
b).        l2 - 4l - 5 = 0
       (l - 5) (l + 1) = 0
      l1= 5   dan   l2 = -1
Jadi nilai eigen : l1 = 5   dan    l2 = -1
c).     Vektor eigen untuk l1 = 5
      (A - l I) x = 0
SPL Homogen di atas diselesaikan sbb :
       sehingga Rang (A - l I) = 1
Karena rank (A - l I) < banyaknya variabel x yaitu 1 < 2 maka SPL Homogen tersebut mempunyai penyelesaian sbb :
Baris kedua dari matriks terakhir :      x1 – x2 = 0
x1 = x2
Jika diambil x2 = a (parameter) maka x1 = x2 = a,  sehingga x =
Jadi vector eigen untuk l1 = 5 adalah x = a dengan a sembarang.
Vektor Eigen untuk l2 = -1
(A - l I) x = 0
SPL Homogen di atas diselesaikan sbb :
   sehingga Rank (A - l I) = 1
Karena rank (A - l I) < banyaknya variable x yaitu 1 < 2 maka SPL homogen tersebut mempunyai penyelesaian sbb :
Baris kedua dari matriks terakhir :      2x1 + 4x2 = 0
2x1 = -4x2
x1 = -2x2
Jika diambil x2 = a (parameter),  maka x1 = -2a, sehingga:
Jadi vector eigen untuk l2 = -1 adalah x = a dengan a sembarang.
d).       Basis vector Eigen
      Basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan x1=5 adalah =
Basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan x2 = -1 adalah
Contoh A.2 :
Diketahui matriks 
Tentukan :       a). Persamaan eigen
b). Nilai Eigen
c). Vektor Eigen
d). Basis Vektor Eigen
J a w a b :
a).        det (A - l I) = 0
 (3 - l)(3 - l)(5 - l) + 0 + 0 – 0 – 0 - (5 - l)(- 2) (-2) = 0
 (9 - 6l - l2) (5 - l) – 4 (5 - l) = 0
 (5 - l)(9 - 6l + l2 - 4) = 0
 (5 - l)(l2 - 6l + 5) = 0
 (5 - l) (l - 1) (l - 5) = 0
Jadi persamaan eigen : (l - 5)2  (l-1) = 0
b).       Nilai eigennya adalah : l12 = 5   dan    l3 = 1
c).     Vector eigen untuk l12 = 5
SPL Homogen diselesaikan sbb :
Jadi, rank (A - l I) = 1  dan karena n = 3, maka ada : 3 – 1 = 2 parameter
Karena rank (A - l I) < banyaknya variable x yaitu 1 < 3 maka SPL homogen tersebut mempunyai penyelesaian sbb :
Baris ke-1 dari matriks terakhir :         -2x1 – 2x2 = 0
-2x1 = 2x2
x1 = -x2
Jika diambil x2 = a  dan   x3 = b maka x1 = -a sehingga :
Jadi vector Eigen untuk l12 = 5 adalah       a, b  sembarang
         Vektor eigen untuk l3 = 1
SPL Homogen tersebut dapat diselesaikan sbb :
Jadi, rank (A - l I) = 2  dan karena n = 3, maka ada : 3 – 2 = 1 parameter
Misal diambil x2 = g  sehingga : x1 – x2 = 0 (diambil dari baris ke-1 dan ke-3)
                                     x1 = x2 = g
                                     x3 = 0
Jadi
Jadi vector Eigen untuk l = 1 adalah     g sembarang
d).        Basis ruang untuk l12 = 5 adalah :   
 dan  basis ruang untuk l3 = 1 adalah
Dalam mendapatkan nilai eigen mungkin akan diperoleh satu nilai eigen yang bukan bilangan riil yaitu bilangan kompleks. Jika terjadi hal yang demikian maka kita katakana bahwa matriks tersebut tidak mempunyai nilai eigen.
A.2  DIAGONALISASI  MATRIKS
Definisi A.2 :
Matriks kuadarat A dikatakan dapat di diagonalisasi jika ada matriks  P yang dapat dibalik sehingga matriks (P-1AP) merupakan matriks diagonal dan mattriks P dikatakan mendiagonalisasi matriks A.
Theorema A.2 :
Jika {v1, v2, v, ………….,vn} adalah vector-vektor eigen matriks A yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen yang berbeda l1, l2, l3,…………….. ln maka  {v1, v2, v, ………….,vn} adalah himpunan vector yang bebas linier.
Teorema A.3 :
Jika A adalah matriks berordo nxn maka pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain :
1.      Matriks A dapat didiagonalisasi
2.      Matriks A mempunyai n vector eigen bebas linier.
Teorema A.4 :
Jika matriks A berordo nxn mempunyai n nilai eigen yang berbeda maka matriks A dapat didiagonalisasi.
Adapun untuk mendiagonalosasi matriks A adalah sbb :
  1. Carilah nilai eigen riil dari matriks A
  2. Carilah n vector eigen bebas linier
  3. Bentuklah matriks p yang vector-vektor kolomnya adalah v1, v2, v, …….,vn
  4. Carilah P-1
  5. Bentuklah (P-1AP) yang merupakan matriks diagonal dimana entri-entri diagonalnya adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan vector eigen v1, v2, v, ………….,vn.
Contoh A.3   :
Carilah matriks P yang mendiagonalisasi matriks A dimana :
J a w a b :
·         Telah dicari bahwa matriks A nilai eigennya adalah l12 = 5 dan l3 = 1
·         Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen adalah untuk
·        
·         Untuk mencari P-1 sbb :
     
     
     
     
J a d i ,              
Sehingga,        P-1 A P
               
Keterangan :
1.      Entri-enteri diagonal pada matriks diagonal (P-1 A P) adalah merupakan nilai-nilai eigen matriks A, yaitu : l1,2 = 5 dan l3 = 1
2.      Penempatan vector eigen {v1, v2 , v3} pada matriks p akan mempengaruhi letak  entri diagonal, pada matriks diagonal (P-1 A P)
Contoh 5.4  :
Apakah matriks       dapat didiagonalisasi ?
J a w a b :
det (A - l I) = 0
 (-3 - l) (1- l) – (-2)(2) = 0
  -3 + 2l +  l2 + 4 = 0
   l2 + 2l + 1 = 0
  (l + 1) (l + 1) = 0
              l1,2 = -1
Vektor eigen untuk l1,2 = -1
 (A - l I) x = 0
SPL Homogen di atas dapat diselesaikan sbb :
 
Jadi, rank (A - l I) = 1  dan karena n = 2, maka ada : 2 - 1 = 1 parameter
Misal diambil x2 = a  sehingga :         -x1 + x2 = 0      (diambil dari baris ke-1 dan ke-3)
                                              x1 = x2 = a
Jadi
Karena matriks A tidak mempunyai dua vector eigen yang bebas linier, maka matriks A tidak dapat didiagonalisasi.
A.3             DIAGONALISASI  ORTHOGONAL
Definisi A.3  :
Matriks kuadarat A dikatakan matriks simetri bila matriks A = At
Theorema  A.5  :
Jika A adalah matriks simetrik maka vector-vektor eigen yang berbeda akan orthogonal.
Definisi A.4  :
Matriks simetrik A dikatakan dapat didiagonalisasi secara orthogonal jika ada matriks p yang orthogonal, sehingga matriks (pt A p) merupakan matriks diagonal.
Adapun untuk mendiagonalisasi matriks simetrik secara orthogonal dilakukan langkah-langkah sbb :
1.      Tentukan persamaan eigen
2.      Tentukan nilai eigen
3.      Tentukan vector eigen
4.      Tentukan basis ruang eigen
5.      Tentukan vector eigen orthonormal
6.      Bentuklah matriks P
7.      Bentuklah matrks Pt
8.      Bentuklah matriks diagonal Pt A P
Contoh A.5  :
Carilah matriks P yang mendiagonalisasi matriks A secara orthogonal. Kemudian tentukan Pt A P jika :
J a w a b  :
a). Persamaan eigen
det (A - l I) = 0
 (4 - l)(4 - l)(4 - l) + 2.2.2 + 2.2.2 – (2(4 - l).2 + 2.2(4 - l) + (4 - l) 2.2) = 0
  (16 - 8l + l2) (4 - l) + 16 – 12 (4 - l) = 0
  (64 - 32l + 4l2- 16l + 8l2 - l3 + 16  - 48 +12l) = 0
  -l3 + 12l2 – 36l + 32 = 0
   l3 - 12l2 + 36l - 32 = 0
  (l - 2) (l - 2) (l - 8) = 0
b).  Nilai eigen :  l1,2 = 2   dan   l3 = 8
c).  Vektor eigen
Untuk l1,2 = 2   maka  SPL Homogen (A - lI)x = 0  sehingga :
 =
SPL Homogen di atas dapat diselesaikan sbb :
Jadi, rank (A - l I) = 1  dan karena n = 3, maka ada : 3 - 1 = 2 parameter
Misal diambil x2 = α   dan  x3 = β maka :        x1 + x2 + x3 = 0
x1 = -x2 – x3
x1 = -α – β
sehingga :
           
Untuk λ3 = 8  maka  SPL Homogen (A-lI)x = 0  sehingga  :
SPL Homogen berikut dapat diselesaikan sbb :
Jadi, rank (A - l I) = 2  dan karena n = 3, maka ada : 3 - 2 = 1 parameter
Misal diambil x3 = γ sehingga  x1 – x3 = 0 (baris ke-1)
                                                  x1 = x3 = γ
                                                  x2 – x3 = 0 (baris ke-2)
                                                  x2 = x3 = γ
Jadi : 
d).  Basis ruang eigen
Basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ1,2 = 2 adalah :
                                                                                               
Basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ3 = 8 adalah :
e).  Vektor eigen orthonormal
Vektor eigen orthonormal v1 dan v2 yang bersesuaian dengan λ1,2 = 2 diperoleh dari ;
U1 = [-1, 1, 0] dan U2 = [-1, 0, 1] sebagai berikut :
Vektor eigen orthonormal v3 yang bersesuaian dengan λ3 = 8
 yaitu sbb :
f). Matriks P  :
g). Matriks Pt  :
           
h). Matriks Pt A P  :
Pt A P =
            =
= =
SOAL LATIHAN :
1.                  Carilah persamaan karakteristik dari matrik  A =
2.                  Carilah persamaan karakteristik dari matrik  A =
3.                  Carilah semua akar karakteristik dari matrik  A =  
4.                  Carilah nilai eigen matriks- matriks pada latihan 1, 2, dan 3
5.                  Pada latihan  1, 2, dan 3, tentukanlah apakah A dapat didiagonalisasi. Jika demikian halnya, carilah matriks P yang mendiagonalisasi A, dan tentukanlah P-1AP

0 komentar:

Posting Komentar