KUARTIL, DESIL DAN PERSENTIL

Dengan menggunakan dasar-dasar median, kita dapat meneruskan kepada perhitungan-perhitungan statistik yang dimaksudkan untuk membuat suatu ukuran atau norma yang digunakan sebagai pedoman untuk membuat kategori-kategori kualitas sekelompok individu. Berdasarkan suatu norma tertentu, seorang peneliti dapat memisahkan individu menjadi bermacam-macam kategori sesuai dengan keperluannya. Misalnya dengan membagi distribusi menjadi 2 kategori yaitu individu yang diterima dan ditolak dalam seleksi suatu pekerjaan. Dengan 4 kategori didapatkan kategori-kategori seperti baik sekali, baik, sedang dan tidak baik. Peneliti bisa mengembangkan sampai menjadi 10 bahkan 100 kategori. Pembuatan kategori ini penting terutama apabila peneliti akan membuat suatu kualifikasi, mengenai subyek penelitian. Misalnya subyek penelitian akan dibagi menjadi 4 bagian yang setiap bagiannya memiliki jumlah individu yang sama, dimana dasar pembagiannya adalah nilai yang dapat menjadi batas dari kelompok yang terdapat dalam distribusi.

Tatacara yang digunakan untuk membuat norma dengan kategori disebut median (Me) dengan 4 kategori disebut Kuartil (K) dengan 10 kategori disebut desil (D) dan dengan 100 kategori disebut persentil (P). Apabila menghendaki pembagian jumlah kategori diluar macam-macam jumlah kategori tersebut, misalnya menginginkan pembagian kategori menjadi 3, 5, 9, 20 atau yang lainnya, maka dapat menggunakan rumus persentil. Cara perhitungan median tidak akan dibahas lagi dalam pembagian ini karena sudah dikaji panjang lebar pada bagian sebelumnya.

Kuartil

Kita telah mengetahui bahwa median adalah nilai tengah data. Dengan kata lain, median membagi kelompok data menjadi dua bagian sama banyak, yaitu 50 % data berada di bawah median dan 50 % data berada di atas median. Konsep median dapat diperluas, yaitu kelompok data yang telah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak. Bilangan pembagian ada tiga, masing-masing disebut kuartil. Kuartil adalah suatu indeks yang dapat membagi suatu distribusi data menjadi 4 bagian atau kategori. Untuk membagi 4 bagian tersebut dibutuhkan 3 titik kuartil (K), dimana masing-masing titik kuartil diberi nama kuartil satu (K₁), Kuartil dua (K₂) dan kuartil tiga (K₃). Kuartil pertama disebut juga kuartil bawah, kuartil kedua disebut juga kuartil tengah, dan kuartil ketiga disebut juga kuartil atas.

Kuartil Satu (K₁)

Kuartil satu (K₁) adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 25% frekuensi di bagian bawah dan 75% frekuensi di bagian atas distribusi. Rumus untuk menghitung K₁ adalah sebagai berikut:

Dimana,     x jumlah individu (N),  Kuartil Satu

 Batas Bawah nyata pada interval yang mengandung kuartil

 frekuensi kumulatif di bawah fk yang mengandung kuartil.

fd frekuensi pada interval yang mengandung Kuartil    i  = lebar interval

Tabel 1.

Berikut adalah contoh untuk mencari kuartil satu.

Interval Nilai	f	fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 8 – 12 3 – 7	5 2 4 3 (6) 3	23 18 16 12 9 (3)
Jumlah	23	-

Diketahui,

= 5,75 (terletak pada fk = 9 interval 8 – 12)

7,5       3        6         i = 5

Maka, harga K₁ adalah

Kuartil Dua (K₂)

Kuarti dua (K₂) adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 50% frekuensi dibawah distribusi dan 50% di atas distribusi. Oleh karena (K₂) membagi distribusi menjadi dua bagian secara sama, maka sebenarnya (K₂) tidak lain adalah median.

Tabel 2.

Merupakan contoh untuk mencari kuartil dua

Interval Nilai	f	fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 9 – 12 3 – 7	5 2 4 (3) 6 3	23 18 16 12 (9) 3
Jumlah	23	-

Diketahui,

=11,5 (terletak pada fk = 12 interval 13 – 17

12,5       9      3     i  = 5

Maka, harga K₂ adalah

Kuartil Tiga (K₃)

Kuartil tiga (K₃) adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 75% frekuensi di bagian bawah dan 25% frekuensi di bagian atas. Rumus untuk menghitung (K₃) adalah sebagai berikut:

Tabel 3.

Merupakan contoh untuk mencari kuartil tiga

Interval Nilai	f	S fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 10 – 12 3 – 7	5 (2) 4 3 6 3	23 18 (16) 12 9 3
Jumlah	23	-

Diketahui,

= 17,25 (terletak pada fk = 18 interval 23 – 17)

22,5        16       2        i = 5

Maka, harga K₃ adalah

Apabila semua nilai kuartil, yaitu K₁, K₂, dan K₃ kita menampakkan secara berurutan, maka akan bisa dibaca sebagai suatu norma pengukuran sebagai berikut:

Tabel 4.

Norma Pengukuran Besar Nilai Kuartil

Jenis Kuartil	Nilai	Kategori
		Baik sekali
K3	25,63
		Baik
K2	16,67
		Sedang
K1	9,79
		Tidak baik

Berdasarkan tabel 3.15 dapat diketahui bahwa nilai-nilai kuartil tersebut menjadi batas dari kategori-kategori yang sudah bersifat kualitatif. Nilai K₁ = 9,70 menjadi batas antara kategori tidak baik sekali dengan sedang, nilai K₂ = 16,67 membatasi kategori sedang dengan baik dan nilai K₃ menjadi batas kategori baik dengan baik sekali. Dengan kata lain alternatif menghitung kuartil adalah:

Untuk data tidak berkelompok:  Q_i = Nilai yang ke – ,  i = 1,2,3……

Untuk data berkelompok        :   Q_i = L₀ + c ,  i = 1,2,3….

Contoh:

Tentukanlah kuartil Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data upah bulanan 13 karyawan (dalam ribuan rupiah) berikut: 40,30,50,65,45,55,70,60,80,35,85,95,100.

Jawab:

Urutan data : 30,35,40,45,50,55,60,65,75,80,85,95,100.

Q_i = nilai ke – , di mana n = 13

Maka nilai kuartil Q₁, Q₂, Q₃ adalah sebagai berikut:

Q₁ = nilai ke - = nilai ke – 14/2 = nilai ke-3 ½

     = antara nilai ke -3 dan nilai ke-4

     = nilai ke-3 + ½ (nilai ke-4 – nilai ke-3)

     = 40 + ½ (85 – 40) = 42,5

Q₂ = nilai ke- = nilai ke-7 = 60

Q₃ = nilai ke-  = nilai ke-10 ½

     = nilai ke-10 + ½ (nilai ke-11 – nilai ke-10)

     = 80 + ½ (85 – 80) = 82,5.

Tabel 5.

Berikut adalah contoh untuk data berkelompok yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi.

Modal	Nilai Tengah (X)	Frekuensi (f)
112 – 120 121 – 129 130 – 138 139 – 147 148 – 156 157 – 165 166 – 174	116 125 134 143 152 161 170	4 5 8 12 5 4 2

Tentukan nilai kuartil Q₁, Q₂ dan Q₃ dari data tersebut!

Jawab:

Menentukan terlebih dahulu kelas interval Q₁, Q₂ dan Q₃

Q₁, membagi data menjadi 25 % ke bawah dan 75 % ke atas.

Q_2, membagi data menjadi 50 % ke bawah dan 75 % ke atas.

Q_3, membagi data menjadi 75 % ke bawah dan 25 % ke atas.

Karena n = 40, maka Q₁ terletak pada kelas 130 – 138, Q₂ terletak pada kelas 139 – 147, dan Q₃ terletak pada kelas 148 – 156.

Q_i = L₀ + c

Untuk Q₁, maka L₀ = 129,5, F = 4 + 5 = 9, dan f = 8, sehingga diperoleh:

          Q₁ = 129,5 + 9  = 129,5 + 9 (0,125) = 130,625.

Untuk Q₂, maka L₀ = 138,5, F = 4 + 5 + 8 = 17, dan f = 12, sehingga diperoleh:

          Q₂ = 138,5 + 9  = 140,75.

Terlihat bahwa nilai Q₂ sama dengan median.

Untuk Q₃, maka L₀ = 147,5, F = 29, dan f = 5, sehingga diperoleh:

          Q₃ = 147,5 + 9  = 149,3

Desil (D)

Desil (D) adalah suatu indeks yang membagi suatu distribusi data menjadi 10 bagian atau kategori. Jika suatu distribusi dibagi menjadi 10 kategori maka diperlukan 9 titik batas desil, yaitu D₁, D₂, D₃, D₄, D₅, D₆, D₇, D₈, dan D₉. Dasar perhitungan desil adalah menggunakan angka persepuluhan. D₁ = 1/10 N, D₂ = 2/10 N, D₅ = 5/10 N, D₉ = 9/10 N dan seterusnya. Rumus-rumus untuk menghitung desil:

Tabel 6.

Adalah contoh untuk mencari desil tiga (D₃)

terval Nilai		f		fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 8 – 12 3 – 7		5 2 4 3 (6) 3		23 18 16 12 9 (3)
Jumlah	23		-

Misalkan kita akan menghitung Desil tiga, maka langkah-langkah yang akan kita lakukan adalah sebagai berikut.

Diketahui,  = 6,69 (terletak pada fk = 9 interval 8 – 12)

 7,5            3         6       i  = 5

Maka nilai D₃ dapat dihitung sebagai berikut:

Arti dari D₃ = 10,75 adalah bahwa nilai 10,75 itu membatasi 30% (3/10N) frekuensi di bawah distribusi dan 70% (7/10N) frekuensi di sebelah atas distribusi. Untuk penghitungan macam-macam desil yang lain menggunakan prosedur yang sama. Apabila nanti diteruskan sampai perhitungan D₅ maka akan dijumpai penggunaan angka dasar 5/10N yang harganya sama dengan ½ N (angka dasar pada median dan K₂), hal ini menunjukkan bahwa sebenarnya D₅ = Mdn = K₂.

Persentil (P)

Pengertian-pengertian pada median, kuartil dan desil dapat digunakan untuk memahami pengertian yang terdapat pada persentil. Bedanya, jika median distribusinya dibagi menjadi 2 kategori, kuartil dibagi menjadi 4 kategori, desil dibagi menjadi 10 kategori, maka persentil distribusinya dibagi menjadi 100 kategori. Sehingga dalam perhitungannya nanti akan dijumpai sebanyak 99 titik persentil. Dari P₁, P₂ sampai dengan P₉₉.

Angka dasar yang digunakan dalam persentil adalah perseratusan, misalnya untuk P₁ = 1/100.N, P₂₅ = 25/100.N (atau ¼ . N seperti angka dasar K₁, sehingga P₂₅ = K₁). Demikian juga untuk P₅₀ = 50/100.N (= ½.N, yang berarti bahwa P₅₀ = Mdn = K₂ = D₅). Kesamaan-kesamaan pada macam-macam pengukuran ini mudah dipahami karena angka dasar yang digunakan seringkali menghasilkan nilai yang sama meskipun penampakannya berbeda, hal ini akan kita temukan lagi misalnya: D₁ = P₁₀, D₂ = P₂₀, K₃ = P₇₅, dan sebagainya.

Melalui persentil seorang peneliti dapat dengan leluasa membagi distribusi data yang dimilikinya kedalam jumlah-jumlah kategori yang dikehendakinya. Misalnya jika penelitian ingin membagi distribusi data tentang skor-skor stress kerja (yang masih berupa data interval) menjadi 5 kategori data ordinal (misalnya tinggi sekali, tinggi, sedang, rendah dan rendah sekali) maka peneliti harus menemukan 4 titik persentil dengan jalan melakukan pembagian, 100/5 = 20. Angka 20 ini nanti akan berfungsi sebagai kelipatan yang digunakan untuk menentukan dasar pembuatan kategori. Maka 5 kategori yang digunakan tersebut akan dibatasi oleh titik-titik P₂₀, P₄₀, P₆₀, dan P₈₀. Untuk pembagian ke dalam jumlah-jumlah kategori yang lain dapat dikembangkan oleh para pembaca sendiri. Misalnya kita akan menghitung persentil 60, maka rumusnya adalah:

Tabel 7.

Adalah contoh untuk mencari persentil 60

Interval Nilai	f	fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 8 – 12 3 – 7	5 2 (4) 3 6 3	23 18 16 12 9 3
Jumlah	23	-

Diketahui,  =  13,8 (terletak pada fk = 16 interval 18 – 22)

 17     12        4       i  = 5

Maka data tersebut didapatkan harga P₆₀ sebesar:

Dari hasil tersebut dapat diketahui bahwa P₆₀ = 19,75, artinya bahwa yang membatasi antara 60% distribusi bagian bahwa dengan 40% distribusi bagian atas adalah nilai 19,75. Dalam penelitian persentil berguna untuk:

• Membagi distribusi menjadi beberapa kelas yang sama besar frekuensinya.
• Memisahkan sebagaian distribusi dari sisanya.
• Menyusun norma penelitian, dan menormalisasikan distribusi.

Evaluasi Pertemuan 4 dan 5

1. Berikan penjelasan secara singkat apa yang dimaksud dengan:
   1. Rata-rata hitung, median, dan modus.
   2. Kuartil, desil dan persentil
   3. Uraikan kelebihan dan kekurangan dari rata-rata hitung, median dan modus! Mengapa rata-rata hitung paling banyak digunakan dalam praktek analisis data dalam penelitian!
   4. Nilai mahasiswa untuk mata kuliah Fisika ditentukan oleh komponen hasil tes paada praktikum di laboratorium, kuliah, dan keaktifan mahasiswa di kelas. Jika seorang mahasiswa memperoleh nilai praktikum sama dengan 75, kuliah sama dengan 65, dan keaktifan di kelas saam dengan 75; sedangkan bobot untuk ketiganya masing-masing adalah 2,4, dan 5. Tentukanlah nilai akhir mahasiswa tersebut dengan menggunakan rata-rata hitung!
   5. Nilai ujian program linier dari 10 mahasiswa, masing-masing sebagai berikut: 40,70,60,75,65,80,90,45,50,95. Berapa besarnya median dari nilai ujian program linier tersebut!
   6. Misalnya X adalah upah bulanan karyawan sebuah perusahaan yang dibulatkan menjadi ribuan rupiah. Ada 40 orang karyawan yang sedang diselidiki dan besarnya upah bulanan dalam ribuan rupiah adalah:

146     147     147     148     149     150     150     152     153     154

156     157     158     161     163     164     165     168     173     176

119     125     126     128     132     135     135     135     136     138

138     140     140     142     142     144     144     145     145     146

a. Berapa besarnya nilai median upah karyawan tersebut!

b. Kalau data dikelompokkan, kelas-kelas disajikan dalam distribusi frekuensi, hitunglah mediannya!

c. Dengan menggunakan data yang telah dikelompokkan, hitunglah nilai median dan modus dari data berikut:

Kelas	Frekuensi
30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99	5 6 8 12 9 7 4
Jumlah	50

7. Berikut ini adalah data nilai ujian teknologi informasi mahasiswa STMIK Raharja, yaitu : 40,30,50,65,45,55,70,60,80,35,85,95,100, (n=13). Hitunglah nilai Q₁, Q₂, Q₃, D₁, D₂, D₃!

8. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 10 mahasiswa terpandai di kelas B adalah 80. Setelah ditambah nilai dari 2 mahasiswa terpandai dari kelas A maka nilai rata-ratanya menjadi 83. Tentukan nilai rata-rata 2 mahasiswa dari kelas tersebut!

9. Berdasarkan data berikut, hitunglah Q₁, Q₃, D_3, D₆, dan P₅₀!

Nilai Kelas	Frekuensi
72,2 – 72,4 72,5 – 72,7 72,8 – 73,0 73,1 – 73,3 73,4 – 73,6 73,7 – 73,9 74,0 – 74,2 74,3 – 74,5	2 5 10 13 27 23 16 4
Jumlah	100

10. Nilai ujian kalkulus dari 120 mahasiswa STMIK Raharja, adalah:

Nilai Ujian
30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 100	9 32 43 21 11 3 1

a. Hitung kuartil pertama dan ketiga!
b. Hitung desil pertama, kelima, dan ketujuh!
c. Hitung persentil pertama, kedua puluh lima, kelima puluh, dan ketujuh puluh lima!