TURUNAN & PENERAPAN DALAM EKONOMI

TURUNAN (PARSIAL & MULTIVARIABEL) 

DAN APLIKASINYA DALAM EKONOMI

Proses penurunan sebuah fungsi yang merupakan penentuan limit suatu kuosien diferensi dalam pertambahan variable bebasnya sangat kecil atau mendekati nol disebut dengan Diferensiasi. Adapun hasil (turunan) yang diperoleh dari proses diferensiasi itulah yang disebut dengan derivatif (∆y/∆x atau dy/dx).

A.    Kaidah diferensiasi

Terdapat beberapa kaidah yang paling sering digunakan dalam pendiferensiasian, di antaranya:

1.      Diferensiasi konstanta (k = konstanta)

Jika :                y = k               Maka :             y′  =  0

                                                                       

contoh :                       y    = 4

turunan :                      y′  =  0

2.      Diferensiasi pangkat

   pangkat

Jika : y = xⁿ                                               maka :              y′  =  nx^n-1

                                                                                   

contoh :                 y    = x⁵

turunan :                y′  =  n. X ^n-1

                                    y′  =  5 . x ^5-1

                                    y′ =  5x⁴

3.      Diferensiasi perkalian

Jika : y = kv     di mana: v = h(x) , k = konstanta

maka :             

y′  =  k . v′

                                         

contoh :     y = 2x⁵

                        k = 2                v = x⁵                   maka :              v′ = 5x^5-1  =  5x⁴

turunan :    y′  =  k . v′                   →                                y′  =  2 (5x⁴)

                                                                                          y′  =  10x⁴

4.      Diferensiasi penjumlahan & pengurangan

    

      Penjumlahan fungsi

Jika :          y = u + v          di mana :         u = g(x) , v = h(x)

maka :                   

y′  =  u′ + v′

                                         

contoh :     y = 2x⁵ + x²

u = 2 x⁵                        maka :              u′ = 2.5x^5-1   =  10x⁴

                        v = x²                                   maka :              v′ = 2x^2-1   =  2x

turunan :                y′  =  u′ + v′                 →        y′  =  10x⁴ + 2x

                             

      Pengurangan fungsi

Jika :          y = u - v           di mana :         u = g(x) , v = h(x)

maka :                   

y′  =  u′ ^- v′

     

contoh :     y = 2x⁵ - x²

u = 2 x⁵                        maka :              u′ = 2.5x^5-1   =  10x⁴

                        v = x²                                   maka :              v′ = 2x^2-1   =  2x

turunan :                y′  =  u′ ^- v′                  →        y′  =  10x⁴ - 2x

                             

B.     Turunan dari turunan

Contoh :    y = f(x) = 4x³ - 6x² + 3x – 8

                  y′ = f′(x) = 12x² - 6x + 3

                  y′′ = f′′(x) = 24x – 6

                  y′′′ = f′′′(x) = 24

                  y^IV  = f^IV(x) = 0

C.    Hubungan Antara Fungsi dan Turunannya

1.      Titik Ekstrim Fungsi Parabolik

Yang digunakan adalah turunan pertama (y′ = f′(x)) dan turunan kedua (y′′ = f′′(x)). Turunan pertama digunakan untuk menentukan letak titik ekstrim. Jika f′(x) = 0 maka y = f(x) berada pada titik ekstrimnya.

Turunan kedua digunakan untuk menentukan jenis titik ekstrimnya. Jika f′′(x) < 0 maka titik ekstrimnya maksimum dan kurvanya berbentuk parabola terbuka ke bawah. Jika f′′(x) > 0 maka titik ekstrimnya minimum dan kurvanya berbentuk parabola terbuka ke atas.

Contoh :

Tentukan titik ekstrim dan koordinatnya dari fungsi y = 6x² - 8x + 1!

Penyelesaian :

                        y =  6x² - 8x + 1          →        f′(x) = 12x – 8                                                                                                 f′′(x) = 12 > 0 (minimum-terbuka ke atas)

koordinat :       y′ = 0               →        12x – 8 = 0      →        x  =  8/12         = 0,67

                        x = 0,67           →        y =  6(0,67)² - 8(0,67) + 1                   = -1,66

jadi, titik minimum kurva tersebut terdapat pada koordinat (0,67; -1,66)

2.      Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik

Yang digunakan adalah turunan pertama (y′ = f′(x)) dan turunan kedua (y′′ = f′′(x)). Turunan pertama digunakan untuk menentukan letak titik ekstrim. Jika f′(x) = 0 maka y = f(x) berada pada titik ekstrimnya.

Turunan kedua digunakan untuk menentukan jenis titik ekstrim dan letak titik beloknya. Jika f′′(x) < 0 pada y′ = 0, maka titik ekstrimnya maksimum. Jika f′′(x) > 0 pada y′ = 0, maka titik ekstrimnya minimum. Jika  y′′ = 0 maka y = f(x) berada pada titik beloknya.

Contoh :

Tentukan titik ekstrim dan titik belok dari fungsi y = x³ - 5x² + 3x - 5!

Penyelesaian :

y = x³ - 5x² + 3x – 5                →        f′(x) = 3x² – 10x + 3

                                                            f′′(x) = 6x – 10

syarat titik ekstrim : y′ = 0      →           0   = 3x² – 10x + 3

                                                               x₁  = 3                       x₂ = 0,3

untuk x = x₁  = 3         →        y = x³ - 5x² + 3x – 5

                                                y = (3)³ – 5(3)² + 3(3) – 5        = -14

                                                y′′ = 6x – 10

                                                y′′ = 6(3) – 10             = 8       (8>0...minimum)

untuk x = x₁  = 0,3      →        y = x³ - 5x² + 3x – 5

                                                y = (0,3)³ – 5(0,3)² + 3(0,3) – 5           = -4,5

                                                y′′ = 6x – 10

                                                y′′ = 6(0,3) – 10          = -8,2   (-8,2<0 ...="..." maksimum="maksimum" span="span">

syarat titik belok : y′′  = 0       →        0 = 6x – 10

                                                            x = 1,67

                                                y = x³ - 5x² + 3x – 5

                                                y = (1,67)³ – 5(1,67)² + 3(1,67) – 5     = -9,27

                                                y′ =  3x² – 10x + 3

                                                y′ =  3(1,67)² – 10(1,67) + 3                = -5,33

jadi, fungsi kubik tersebut berada pada titik minimum di koordinat ( 3,-14) dan titik maksimum pada koordinat (0,3;-4,5) serta titik belok pada koordinat (1,67;-9,27).

D.    Turunan Fungsi Multivariabel

Prinsip dan kaidah turunannya sama dengan fungsi bervariabel bebas tunggal, hanya saja pada turunan fungsi multivariable ini akan ditemui turunan parsial (turunan bagian demi bagian) dan turunan total. Pada fungsi multivariable, karena variable bebasnya lebih dari satu macam maka turunan yang akan dihasilkan juga lebih dari satu macam. Bentuk umumnya:

Jika y = f ( x,y )      maka turunannya :

1.      Turunan y terhadap x         →        ∂ y / ∂ x

2.      Turunan y terhadap z         →        ∂ y / ∂ z

Sehingga:

1.      y = f(x,z)

a.    f_x (x,z)                =y′_x      = x′                 

b.    f_z (x,z)                = y′_z     = z′

y′  = x′  +  z′                             

         

2.      p = f(q, r, s)

a.    f_q (q, r, s)            =  p′_q = q′                   

b.    f_r (q, r, s)            =  p′_r = r′

c.    f_s (q, r, s)            =  p′_s = s′

p′  =  q′  +  r′  +  s′                   

         

3.      y = f(x,z)

      f_x (x,z)              =y′_x      = x′

      f_z (x,z)               = y′_z     = z′

y = f(x)                   =y′       = x′

z′  =  y′_x  +  y′_z  (x′)

Notes:

v y′_x, y′_z, p′_q, p′_r, dan  p′_s disebut turunan parsial.

v y′ disebut turunan fungsi variabel tunggal

v z′ disebut turunan total

Contoh :

Carilah turunan parsial dan turunan total dari fungsi Z = f(X,Y) = 2X⁵ – 4Y + 10  dan  Y = 2X + 3

Diketahui                :                       Z = f(X,Y) = 2X⁵ – 4Y + 10

                                                       Y = 2X + 3

Ditanya                   :           Z_X….?             Z_Y….?             z′ ….?

Penyelesaian           :

v  Turunan Parsial

Z_X  =  Z′_x =  10X⁴

Z_Y  = Z′_y  = -4

y′              = 2

v  Turunan Total

z′          =  Z′_x  +  Z′_y (y′)

                        =  10X⁴  +  -4(2)                      =  10X⁴  - 8

E.     Penerapan Konsep Turunan Parsial (1 Variabel) Dalam ekonomi

1.      Elastisitas

Bentuk umum :

                                    η  =  Ey  =  lim            =  y′  .  x

                                            Ex      ∆x→0                    y                    

Macam-macam elastisitas :

a)      Elastisitas Permintaan

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga (rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga).

Jika Qd = f(P) maka elastisitas permintaannya adalah :

η_d  =  %∆Q_d  =  EQ_d  = lim                 =    Q′_d  .  P

                            %∆P        EP      ∆P→0                                         Q_d

jika |η_d| > 1 maka elastik, jika |η_d| < 1 maka inelastik dan jika |η_d| = 1 maka elastik-uniter.

Contoh :

Fungsi permintaan ditunjukkan dengan persamaan Q_d = 75 – 5P². tentukan elastisitas permintaan pada harga p = 20

Penyelesaian :

Q_d = 75 – 5P²           →        Q′_d =  - 10P                 → P = 20

η_d  =  %∆Q_d  =  EQ_d =      lim                   =    Q′_d  .  P

         %∆P         EP           ∆P→0                              Q_d   

η_d  = - 10P . P/ Q_d

η_d  = - 10(20) . 20/ (75 – 5(20) ²)

η_d  = - 200 . 20/ - 1925      = 2       (2 > 1 ...... elastik)

jadi, dari kedudukan P = 20, harga akan naik (turun) sebesar 1% sehingga jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 2%.  

Catatan :   dalam elastisitas permintaan, untuk menentukan jenis elastisitas yang dibandingkan adalah angka hasil perhitungan sehingga tanda yang dihasilkan (+/-) dapat diabaikan karena tanda tersebut hanya mencerminkan hukum permintaan bahwa jumlah yang diminta bergerak berlawanan arah dengan harga.

                  Fungsi permintaan juga sering dinotasikan dengan persamaan D = f(P).

 

       

b)      Elastisitas Penawaran

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan akibat adanya perubahan harga (rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap persentase perubahan harga).

Jika Qs = f(P) maka elastisitas penawarannya adalah :

η_s  =  %∆Q_s  =  EQ_s  = lim                  =    Q′_s  .  P

                            %∆P        EP     ∆P→0                             Q_s

jika |η_s| > 1 maka elastik, jika |η_s| < 1 maka inelastik dan jika |η_s| = 1 maka elastik-uniter.

Contoh :

Fungsi penawaran ditunjukkan dengan persamaan Q_s = -75 + 5P². tentukan elastisitas penawaran pada harga p = 20

Penyelesaian :

Q_s = -75 + 5P²         →        Q′_s =  10P                    → P = 20

η_s  =  %∆Q_s  =  EQ_s =       lim                   =    Q′_s  .  P

         %∆P         EP           ∆P→0                             Q_s    

η_s  = 10P . P/ Q_s

η_s  = 10(20) . 20/ (-75 + 5(20) ²)

η_s  = 200 . 20/ 1925           = 2       (2 > 1 ...... elastik)

jadi, dari kedudukan P = 20, harga akan naik sebesar 1% sehingga jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah sebanyak 2%.

c)      Elastisitas Produksi

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan tentang besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan (rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan).

Jika P = jumlah produk yang dihasilkan & X = jumlah faktor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi P = f(X) maka elastisitas produksinya adalah :

η_p  =  %∆P  =  EP =    lim                   =    P′  .  X

                            %∆X     EX       ∆X→0                            P

jika |η_s| > 1 maka elastik, jika |η_s| < 1 maka inelastik dan jika |η_s| = 1 maka elastik-uniter.

Contoh :

Hitunglah elastisitas produksi dari fungsi produksi P = 5X² – 5X³ pada tingkat faktor produksi sebanyak 2 unit!

Penyelesaian :

P = 5X² – 5X³         →        P′ =  10X - 15X²                     → P = 2

η_p  =  %∆P  =  EP  =         lim                   =    P′  .  X

          %∆X     EX             ∆X→0                            P        

η_p  = (10X - 15X²) . (X/ (5X² – 5X³))

η_p  = (10(2) – 15(2)²) . (2/ (5(2²)– 5(2³))

η_p  = -40 . -0,1       =  4

jadi, dari kedudukan X = 2, faktor produksi yang digunakan  naik sebesar 1% sehingga produk yang dihasilkan bertambah sebanyak 4%.

2.      Biaya marginal, Penerimaan marginal, Utilitas marginal, & Produk marginal

a)      Biaya marginal

Adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Fungsi biaya marginal adalah turunan pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total adalah C = f(Q) maka biaya marginalnya adalah :

                                          MC  =  C′ 

Notes: Pada umumnya fungsi biaya total berbentuk fungsi kubik sehingga fungsi biaya marginal akan berbentuk fungsi kuadrat. Dalam kurvanya, kurva biaya marginal akan mencapai titik minimum tepat pada saat kurva biaya total berada pada titik beloknya.

Contoh :

Fungsi biaya total dinyatakan dalam persamaan C = 2Q³ – 6Q² + 8Q + 8. tentukanlah persamaan biaya marginal serta berapa titik minimumnya?

Penyelesaian :

C = 2Q³ – 6Q² + 8Q + 8               →        MC = C′  =  6Q² - 12Q + 8

                                                                 MC′ = C′′ =  12Q – 12

MC minimum jika MC′ = 0           →        0  =  12Q – 12

                                                                  Q = 1

Untuk Q = 1                                  →        MC = 6Q² - 12Q + 8

                                                                  MC = 6(1)² – 12(1) + 8           =  2

                                                                  C = 2Q³ – 6Q² + 8Q + 8

                                                                  C = 2(1)³ – 6(1)² + 8(1) + 8     =  12

Jadi, persamaan biaya marginalnya adalah MC = 6Q² - 12Q + 8. Fungsi biaya marginal mencapai titik minimum pada koordinat (1,2) pada saat fungsi biaya total berada pada titik belok di koordinat (1,12).

b)      Penerimaan marginal

Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh akibat bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi (terjual). Fungsi penerimaan marginal adalah turunan pertama dari fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total adalah R = f(Q) maka penerimaan marginalnya adalah :

                                          MR  =  R′

Notes: Pada umumnya fungsi penerimaan total berbentuk fungsi kuadrat sehingga fungsi penerimaan marginal akan berbentuk fungsi linear. Dalam kurvanya, kurva penerimaan marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva penerimaan total berada pada titik ekstrimnya.

Contoh :

Fungsi permintaan dinyatakan dalam persamaan P = 20 – 5Q. tentukanlah persamaan penerimaan total & marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi penerimaan totalnya?

Penyelesaian :

P = 20 – 5Q                                   →        R  =  Q . P

                                                                  R  =  Q (20 – 5Q)

                                                                  R  =  20Q – 5Q²

Jika R  =  20Q – 5Q²                             →        MR  = R′  =  20 – 10Q

R maksimum jika MR = 0              →        0  =  20 – 10Q

                                                                  Q = 2

Untuk Q = 2                                   →        P = 20 – 5Q

                                                                  P = 20 – 5(2)                = 10

                                                                  R  =  20Q – 5Q²

                                                                  R  =  20(2) – 5(2)²          = 20

Jadi, titik ekstrim fungsi penerimaan total berada pada koordinat (2,20)

c)      Utilitas marginal

Adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen akibat bertambahnya satu unit barang yang dikonsumsi. Fungsi utilitas marginal adalah turunan pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total adalah U = f(Q) maka utilitas marginalnya adalah :

                                          MU  =  U′ 

Notes: Pada umumnya fungsi utilitas total yang non-linear berbentuk fungsi kuadrat sehingga fungsi utilitas marginal akan berbentuk fungsi linear. Dalam kurvanya, kurva utilitas marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva utilitas total berada pada titik ekstrimnya.

Contoh :

Fungsi utilitas dinyatakan dalam persamaan U = 15Q – 5Q². tentukanlah persamaan utilitas marginal serta berapa titik ekstrim dari fungsi utilitas totalnya!. Berapa utilitas marginal jika barang yang diproduksi ditambah dari 2 unit menjadi 3 unit?  

Penyelesaian :

U = 15Q – 5Q²                              →        MU  = U′  =  15 – 10Q

U maksimum jika MU = 0             →        0  =  15 – 10Q             = 1,5

Untuk Q = 1,5                                →        U = 15Q – 5Q²

                                                                  U = 15(1,5) – 5(1,5)²   = 11,25

Jika Q = 2                                      →        MU = 15 – 10(2)         = -5

Jika Q = 3                                      →        MU = 15 – 10(3)         = -15

                                                                                                                             

Jadi, titik ekstrim fungsi utilitas total berada pada koordinat (1,5;11,25). Pada saat konsumen mengkonsumsi 2 unit barang utilitas tambahan sudah menurun dan akan semakin menurun jika ditambah 1 unit lagi, sehingga konsumen harus mengurangi konsumsi terhadap produk tersebut untuk meningkatkan kembali utilitas tambahannya.

d)     Produk marginal

Adalah produk tambahan yang dihasilkan akibat bertambahnya satu unit faktor produksi yang digunakan. Fungsi produk marginal adalah turunan pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total adalah P = f(X) maka produk marginalnya adalah :

                                          MP  =  P′ 

Notes: Pada umumnya fungsi produk total yang non-linear berbentuk fungsi kubik sehingga fungsi produk marginal akan berbentuk fungsi kuadrat. Dalam kurvanya, kurva produk marginal akan mencapai 0 tepat pada saat kurva produk total berada pada titik ekstrimnya dan mencapai titik ektrim tepat saat produk total berada pada titik beloknya.

Contoh :

Fungsi produk dinyatakan dalam persamaan P = 9X² – 3X³. tentukanlah persamaan produk marginal serta berapa titik ekstrim dan titik belok dari fungsi produk totalnya!. berapa titik ekstrim dari fungsi produk marginalnya serta berapa besar produk marginalnya? 

Penyelesaian :

P = 9X² – 3X³                               →        MP  = P′  =  18X – 9X²

                                                                  MP′  = P′′  =  18 – 18X

P maksimum jika MP = 0               →        0  =  18X – 9X²                      

X = 2               (dicari dengan rumus abc)

Untuk X = 2                                   →        P = 9X² – 3X³

                                                                  P = 9(2)² – 3(2)³             = 12

P belok jika            MP′ = 0                       →        0 = 18 – 18X

                                                                  X = 1

Jika X = 1                                      →        P = 9X² – 3X³

                                                                                        P = 9(1)² – 3(1)³             = 6

Jika X = 1                                      →        MP  = 18X – 9X²

                                                                                        MP  = 18(1) – 9(1)²       = 9

                                                                                                                             

Jadi, titik ekstrim fungsi produk total berada pada koordinat (2,12), titik beloknya pada titik (1,6). Fungsi produk marginal ada pada titik ekstrim di koordinat (1,9).

F.     Aplikasi Fungsi Multivariabel dalam Ekonomi

·         Elastisitas Harga-Permintaan, Elastisitas Silang-Permintaan dan Elastisitas Penghasilan dari Permintaan

Elastisitas harga-permintaan adalah elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang akibat perubahan harga barang itu sendiri. Bentuk umumnya:

                                    εd   =      Q′_d .  P_d

                                                               Q

                Elastisitas silang-permintaan adalah elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang akibat perubahan harga barang lain. Bentuk umumnya:

                                    εC   =   Q′_s .  P_s

                                                            Q

                Elastisitas penghasilan dari permintaan adalah elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang akibat perubahan penghasilan nasional. Bentuk umumnya:

                                    εY   =   Y′ .  P_y

                                                           Q

Notes: untuk elastistitas silang-permintaan berlaku:

jika ec negative (ec < 1) berarti hubungan antara barang A dan barang B adalah komplementer (saling melengkapi), di mana penurunan harga salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas keduanya.

            jika ec positif (ec > 1) berarti hubungan antara barang A dan barang B adalah kompetitif/substitutif (saling menggantikan), di mana penurunan harga salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan penurunan permintaan atas barang lainnya.

Contoh :

Fungsi permintaan barang A terhadap barang komplementer ditunjukkan dengan persamaan Q_A = 2300 – 10P_A + 5Ps + 0,4Y. Carilah elastisitas harga-permintaan, elastisitas silang-permintaan dan elastisitas penghasilan dari permintaan pada saat P_A = 30, P_s = 10 dan Y = 5.000!

Diketahui:        Q = 2300 – 10P_A + 5Ps + 0,4Y                              P_A = 30            P_s = 10                                     Y = 5.000

Ditanya :          εd….?             εC….?             εY….?

Penyelesaian:

                        Q = 2300 – 10P_A + 5Ps + 0,4Y

                        Q = 2300 – 10(30) + 5(10) + 0,4(5000)          = 2300 – 300 + 50 + 2000

                                                                                                = 4.050

Q = 2300 – 10P_A + 5Ps + 0,4Y           →        P′_A =   -10                                                                                                                             

                                εd   =   Q′_d .  P_A           = -10 . 30 / 4.050         = -10 (0,007)   = -0,07 (in-elastis)

                                               Q

Q = 2300 – 10P_A + 5Ps + 0,4Y           →        P′_s =  5                                                                                                                             

                        εC   =   Q′_s .  P_s           = 5 . 10 / 4050             = 5 (0,002)      = 0,01  (in-elastis)

                                                Q

           

                        Q = 2300 – 10P_A + 5Ps + 0,4Y           →        P′_y =  0,4                                                       

                        εY   =   Y′ .  P_y            = 0,4 . 5000 / 4050      = 0,4 (1,23)     = 0,49 (in-elastis)

                                               Q

analisis : ey = 0,49 < 1 (in-elastis); berarti setiap kenaikan (%) penghasilan nasional, maka permintaan barang A akan naik kurang proporsional.

                 Ec = 0,01 < 1 (in-elastis); berarti permintaan barang A akan barang komplementer mendapat pengaruh negative, sehingga berdampak pada kecenderungan menambah jumlah permintaan barang A.

                  Hal sebaliknya akan terjadi jika terdapat permintaan barang A akan barang substitutive. Ec terhadap barang substitutive dapat memberikan nilai ec > 0 sehingga membawa pengaruh positif terhadap barang A, di mana jumlah permintaan barang A dapat berkurang.