DETERMINAN MATRIKS

Pembahasan berikut ini berhubungan dengan matriks persegi (matriks bujur sangkar). Secara umum, pandanglah untuk matriks persegi berikut:

A =

yang mempunyai anggota-anggota dari sistem aljabar dengan operasi kali dan tambah yang terdefinisi. Ada elemen tunggal yang bisa dinyatakan dari sistem pada anggota-anggota matriks A tersebut. Elemen tunggal ini disebut dengan determinan dari A, dinotasikan dengan det A atau ïAï

A = |A|= = a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a₂₁

A =

maka det A = 2.5 – (-1).4 = 14

Khusus untuk determinan dari matriks persegi berdimensi 3, ada satu aturan khusus yang dapat memudahkan perhitungannya. Aturan tersebut dikenal dengan aturan Sarrus. Aturan Sarrus tersebut adalah sebagai berikut:

ïAï =

Perlu ditegaskan sekali lagi di sini bahwa aturan Sarrus ini hanya berlaku bagi determinan berdimensi 3.

Sifat-sifat Determinan:

1. Determinan transpose suatu matriks sama dengan determinan matriks itu sendiri ; det A^t = det A
2. Matriks persegi yang salah satu vektor barisnya (kolomnya) unsur-unsurnya nol, maka nilai determinannya sama dengan 0 (nol).
3. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) – nya dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k ïAï
4. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah menjadi negatip determinan semula.
5. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama adalah sama dengan 0 (nol).
6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya) merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0 (nol).

Minor dan Kofaktor

Determinan dari submatriks yang berdimensi (n-1)x(n-1) dari matriks persegi A = (aij) berdimensi n disebut dengan Minor dari matriks A. Dalam hal memperoleh submatriks berdimensi (n-1)x(n-1) dengan jalan menghilangkan baris ke i dan kolom ke j dari matriks persegi A, minornya ditulis dengan Mij

Diketahui matriks A =

Carilah minor dari matriks A.

Solusi:

Karena matriks A berdimensi 3, maka minor dari A (determinan sumatriks A) berdimensi 2. Dalam hal ini berarti menghilangkan salah satu baris dan salah satu kolom dari matriks A. Jadi:

Perhatikan bahwa matriks A berdimensi 3, dari matriks A ini ada sembilan minor. Jadi dengan demikian jika A berdimensi n, maka banyaknya minor adalah (nxn) buah . Sedangkan yang dimaksud dengan kofaktor dari unsur aij dari matriks A, dinotasikan dengan Cij, didefinisikan : Cij = (-1)i+j Mij. Jadi kofaktor ini diperoleh dari minor yang sesuai dengan memberikan tanda + atau – sesuai dengan posisi dari mana minor itu berasal.

Perhitungan Determinan dengan Ekspansi Minor dan Kofaktor

Dengan minor dan kofaktor ini bisa digunakan untuk membantu memudahkan perhitungan determinan suatu matriks persegi. Untuk itu, pandanglah matriks persegi A = (a_ij) berdimensi 3 berikut ini :

A =

Dapat ditunjukkan bahwa dengan ekspansi minor dan kofaktor sepanjang baris atau kolom matriks A, maka determinan A bisa mudah dicari.

Determinan itu adalah :

 Perhatikan bahwa dengan ekspansi minor dan kofaktor ini bisa menghitung determinan dengan banyak cara.

Kita bisa melakukan ekspansi melalui baris atau kolom yang menguntungkan, dalam hal ini biasanya adalah baris atau kolom yang sangat sederhana unsur-unsurnya, misalnya banyak unsur nol-nya.

Misalnya kita ambil ekspansi menurut baris pertama: