DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK

DIFERENSIAL PARSIAL

Fungsi yang terdiri lebih dari satu variabel bebas diformulasikan Y= f(X1, X2, X3,…, Xn). Penurunan fungsi yang memiliki variabel bebas lebih dari satu dilakukan  terhadap masing-masing variabel bebas yang bersangkutan secara terpisah/ secara parsial.

·                Jika Y= f(X1, X2, X3) maka turunannya adalah

·                Y’ X1 = f’X1= ∂y/∂x1= turunan pertama y thd x1

·                Y’ X2 = f’X2= ∂y/∂x2= turunan pertama y thd x2

·                Y’ X3 = f’X3= ∂y/∂x3= turunan pertama y thd x3

Contoh Soal

Carilah turunan pertama dari fungsi Y = x13  + 2 x1 x2 + 5 x22 – 2x2

DIFERENSIAL TOTAL

·         Merupakan penjumlahan dari diferensiasi parsial atas variabel yang terdapat pada fungsi yang bersangkutan. Jika suatu fungsi Y= (x1, x2) maka diferensiasi totalnya adalah dy=∂y/∂x. dx1 + ∂y/∂x. dx2

·         ∂y/∂x1 dan ∂y/∂x2 sebenarnya merupakan diferensiasi parsial dari y dengan penekanan terhadap x1 dan x2. Sedangkan jumlah dari diferensiasi parsial merupakan diferensiasi total.

Contoh Soal

Carilah Deferensiasi total fungsi Y = 5x13 + 7x12 x2 + 2x x2 + 8x23 – 3x23 + 9x2 + x32

Nilai Maks dan Min  Fungsi Dua Variabel

·         Nilai maks dam min dari suatu fungsi yang mengandung dua variabel bebas dapat diperoleh dari turunan parsial pertama dan turunan parsial kedua fungsi tersebut.

·         Fungsi Y=f(X1, X2), maka fungsi tersebut mencapai maksimum atau minimum ketika ∂y/∂x1= 0 dan ∂y/∂x2= 0. untuk mengetahui nilai maksimum atau minimum  maka:

·         Jika ∂2y/∂x12 < 0 dan ∂2y/∂x22 < 0, maka fungsi tersebut mencapai titik maksimum

·         Jika ∂2y/∂x12 > 0 dan ∂2y/∂x22 > 0, maka fungsi tersebut mencapai titik minimum

Contoh Soal

Carilah nilai maksimum atau minimum dari fungsi Y = 3x12 - 10x1 + 12x1 x2 - 8x2 + 4x22

METODE PENGGANDA LAGRANGE

·         Memaksimumkan dan meminimumkan suatu fungsi yang menghadapi kendala fungsi lain dapat diselesaikan dengan menggunakan metode pengganda Lagrange.

·         Fungsi Lagrange merupakan selisih (atau dapat juga sebagai penjumlahan) antara fungsi yang dioptimumkan dengan hasil kali pengganda Lagrange (λ) dengan fungsi kendalanya.

Mengoptimumkan Fungsi

·         Fungsi Z= f(x1, x2) dengan fungsi kendala yang harus terpenuhi g(x1, x2), maka kita membuat fungsi baru yang disebut fungsi Lagrange yaitu f(x1, x2, λ) = f(x1, x2) - λg(x1,x2), dimana (λ) sebagai pengganda yang nilainya diketahui (sembarang).

·         Untuk mengoptimumkan fungsi Lagrange tersebut dicari turunan parsial pertamanya menjadi sama dengan nol.

·         fx1 (x1, x2, λ)= ∂F/ ∂x1= ∂f/ ∂x1- λ ∂g/∂x1= 0

·         fx2 (x1, x2, λ)= ∂F/ ∂x2= ∂f/ ∂x2- λ ∂g/∂x2= 0

·         f λ(x1, x2, λ)= ∂F/ ∂ λ = g(x1, x2) = 0

Langkah-langkah dalam fungsi lagrange

·         Langkah 1 : buatlah fungsi kendalanya menjadi fungsi implisit

·         Langkah 2 : buatlah fungsi Lagrange (sebagai selisih antara fungsi yang akan dioptimumkan dengan hasil kali lamda dengan fungsi kendalanya)

·         Langkah 3 : mencari turunan pertama fungsi lagrage

·         Langkah 4 : mencari nilai x1 dan x2 ke dalam fungsi kendala

·         Langkah 5 : Subtitusikan nilai x1 dan x2 ke dalam fungsi kendala

·         Langkah 6 : Menghitung nilai Z

Contoh Soal

Perusahaan X memproduksi dua jenis barang x1 dan x2. Perusahaan ingin memaksimumkan keuntungan dari penjualan kedua jenis barang tersebut. Keinginan tersebut dituangkan dalam fungsi Z = 5x₁² + 6x₁² + x1.x2 . Untuk memaksimumkan fungsi tersebut perusahaan hanya membuat kombinasi barang x1 dan x2  sebanyak 24 unit. Berapa unit masing-masing barang dibuat agar labanya maksimum. Hitunglah laba maksimum tersebut?

METODE KUHN-TUCKER MENGGUNAKAN METODE LAGRANGE YANG DIMODIFIKASI

Langkah-langkahnya

1.            Rumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendalanya

2.            Ubahlah kendala yang ada ke dalam bentuk persamaan fungsi implisit

3.            Buatlah fungsi Lagrange dalam bentuk f(x1, x2, λ) = f(x1, x2) - λg(x1, x2), dan bukan dalam bentuk f(x1, x2, λ) = f(x1, x2) + λg(x1, x2)

4.            Lakukan pengujian terhadap nilai λ

o      jika λ>0, maka nilai optimum yang dicapai adalah sebagai nilai optimum dari fungsi tujuan sesuai kendala pertidaksamaan yang ada.

o      jika λ≤0 berarti optimasi fungsi tujuan f(x1, x2) sudah dapat tercapai sesuai dengan kendala yang ada tanpa menyertakan fungsi kendalanya dalam mencari optimumnya.

Contoh Soal

Maksimumkan fungsi Z = 5x1² + 6x₂² - x₁.x₂  dengan kendala x1 + x2 ≤ 24

METODE KUHN-TUCKER SECARA LANGSUNG

Langkah-langkah

1.             Rumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendalanya. Fungsi tujuan adalah Z= f(x1, x2), dan fungsi kendalanya g(x1, x2)≤ 0 untuk maksimisasi dan fungsi kendala g(x1, x2) ≥ 0 untuk minimisasi

2.             Buatlah syarat-syarat seperti

•                ∂f(x1, x2)/∂x1 – λ . ∂g(x1, x2)/∂x1  =0

•                ∂f(x1, x2)/∂x2 – λ . ∂g(x1, x2)/∂x2  =0

•                λg(x1, x2) =0, dimana g(x1, x2) ≤ 0 atau g(x1, x2) ≥ 0

Lanjutan Langkah-langkah

Lakukan pengujian terhadap nilai λg(x1, x2) untuk λ=0 dan g(x1, x2)=0 pengujian ini dilakukan untuk menentukan apakah nilai yang ada pada syarat-syarat kuhn-Tucker (syarat 2 a dan syarat 2 b) dan fungsi kendalanya berlaku atau tidak.

Contoh Soal

Minimumkan Z= 12x1x2 – 3 x₂² – x₁², dengan kendala x1 + x2 ≥ 0, dengan menggunakan metode syarat-syarat kuhn-tucker secara langsung.

PENERAPAN MAKSIMUM DAN MINIMUM DENGAN KENDALA

Produktivitas Marginal

•                Adalah tambahan jumlah barang yang diproduksi karena tambahan salah satu faktor produksi.

•                Produktivitas marginal menyatakan tingkat pertambahan dari produk total bila terjadi kenaikan input (faktor produksi) tertentu sedangkan input lainnya tetap.

Contoh Soal

Sebuah perusahaan menghasilkan dua jenis mesin produksi modern yaitu mesin x dan mesin y, dengan fungsi produksi P = x² + 2y² – xy. Tahun 2000 perusahaan mencadangkan dana 8 M untuk membeli input yang dibutuhkan untuk memproduksi kedua mesin tersebut. Berapa masing-masing mesin bisa diproduksi apabila harga input mesin x dan input mesin y masing-masing sebesar Rp. 1.000.000 per unit.

Kegunaan Marginal

• Merupakan tambahan kegunaan yang dinikmati oleh konsumen apabila konsumen menambah salah satu barang untuk dikomsumsi, sedangkan konsumsi barang yang lain tetap. Kegunaan marginal dapat dicari dengan menurunkan secara parsial dari fungsi kegunaan yang ada. Apabila fungsi kegunaan barang x dan y adalah U = f (Qx, Qy), maka kegunaan marginalnya adalah:
• ∂U/ ∂Qx merupakan kegunaan marginal brg X 
• ∂U/ ∂Qy merupakan kegunaan marginal brg Y

Contoh Soal

Fungsi kegunaan yang dihadapi oleh seorang konsumen yang mengkonsumsi barang x dan y ditunjukkan oleh fungsi U = 6Qx² – 8QxQy + 3Qy². Kendala yang dihadapi berkaitan dengan pendapatannya ditunjukkan oleh persamaan fungsi anggaran Qx + 0,5 Qy = 68. Berapa Qx dan Qy dapat dikonsumsikan agar kepuasannya optimal?