DISTRIBUSI POISSON (2)

SEJARAH DISTRIBUSI POISSON.

• Riwayat

Distribusi Poisson dikembangkan oleh Simon Poisson pada tahun 1837. Poisson bukanlah berasal dari keluarga bangsawan, meskipun sulit memilah perbedaan antara bangsawan dengan kaum Borjuis di Perancis setelah terjadi revolusi, walaupun system kelas atau kasta ini masih tetap berlaku di Perancis. Ayah Poisson adalah seorang prajurit. Posisi prajurit selalu dapat deskriminasi sebelum akhirnya mengundurkan diri dan beralih profesi dengan mengerjakan tugas-tugas administrative. Kakak perempuan dan kakak laki-laki Poisson sudah meninggal karena sakit, sehingga kelahiran Poisson menjadi berkah tersendiri bagi keluarga ini.

• Mengenal Matematika

Ketika Poisson berusia 8 tahun, terjadi pemberontakan penduduk Paris pada tanggal 14 Juli 1789 yang dianggap memicu terjadi revolusi Prancis. Semua yang merasa menderita oleh kaum bangsawan memberontak, termasuk ayah Poisson. Ayahnya memutuskan agar Poisson menjadi ahli bedah, karena pamannya adalah seorang ahli bedah ternama di Fountainbleau. Nyatanya Poisson tidak cocok menjadi asisten ahli bedah karena kurang mempunyai koordinasi dalam gerakan tangan dan tidak mempunyai minat dengan profesi di bidang medical.

• Masuk Ecole Polytecnique.

Tahun 1796, Poisson menuntut ilmu di Ecole Centrale. Kurangnya koordinasi tangan, namun mempunyai minat belajar yang besar pada bidang matematika. Prestasi akademik dengan cepat dapat diraih oleh Poisson, Sukses akademis dapat diraih dengan antusiasme tinggi dan kerja keras. Menggunakan waktu luangnya untuk menikmati opera atau aktivitas sosial. Kelemahan, koordinasi tangan, hilang apabila dia mulai menggambar diagram-diagram matematikal. Laplace dan Lagrange adalah dua dosen yang dengan segera mengenali bakat matematika Poisson.

Makalah yang ditulis oleh Poisson yang saat itu masih berumur 18 tahun menarik perhatian Legendre. Poisson berkutat dengan geometri deskriptif yang menjadi topik utama di Ecole, namun harus “mengalah” kepada Monge, karena dia tidak dapat menggambar diagram. Pada tahun akhir Poisson menulis makalah tentang teori-teori persamaan dan theorema Bezout, yang membuatnya lulus tanpa perlu menjalani ujian akhir. Prestasi ini membuat Poisson diangkat menjadi asisten di Ecole dengan rekomendasi dari Laplace.

• Bentrok dengan Fourier

Karir Poisson terus melejit seiring dengan banyaknya tanggung jawab yang ada dipundaknya. Tahun 1815, diangkat sebagai penguji di Ecole Militaire dan tahun berikutnya menjadi penguji ujian akhir di Ecole Polytechnique. Tetap melakukan penelitian dan mengajar sehingga perannya makin mencorong dalam organisasi matematikawan Perancis. Penelitiannya mencakup banyak bidang termasuk matematika terapan. Meskipun Poisson tidak dapat menemukan teori baru, namun peran sebenarnya adalah mengembangkan teori-teori orang lain dan menunjukkan kegunaan teori tersebut.

Tahun 1813, Poisson mempelajari potensi daya-tarik dalam molekul, hasilnya akhirnya adalah aplikasi elektrostatis. Disusul dengan penelitian dalam bidang elektrik dan magnetik. Membuat makalah tentang kecepatan suara dalam medium gas, media penghantar panas, getaran-getaran elastik. Buku tentang panas yang diterbitkan Poisson membuat Fourier berang, dan menuduh Poisson seorang plagiator. Alasan yang dikemukan Poisson dimaklumi Fourier pada tahun 1820, sebelum pada tahun 1823 menerbitkan artikel tentang panas, yang hasilnya memberi pengaruh kepada Sadi Carnot. Banyak karya-karya Poisson dipengaruhi atau merupakan pengembangan karya Laplace.

• Teori Probabilitas

Lewat buku Recherches sur la probabilite des jugements en matiere criminelle et matiere civile, yang terbit pada tahun 1837, Poisson membahas teori probabilitas, dan istilah distribusi Poisson muncul. Distribusi Poisson mengambarkan probabilitas terhadap persitiwa acak (random) yang akan terjadi pada jeda (interval) waktu atau ruang dengan kondisi probabilitas sangat kecil, meskipun jumlah percobaan yang dilakukan besar tetapi hasilnya tidak berarti. Ide-ide Poisson yang beragam membuat namanya diabadikan dalam istilah, sebagai contoh: integral Poisson, [tanda] kurung Poisson dalam integral, nisbah (ratio) Poisson dalam elastisitas, dan konstanta Poisson dalam elektrik.

Meskipun selama hidup, namanya relatif kurang kurang dikenal sebagai matematikawan Perancis, namun reputasinya sebagai matematikawan terkemuka diakui oleh para matematikawan mancanegara. Rupanya ide-ide Poisson menular kepada mereka. Poisson sendiri mendarmabaktikan diri sepenuhnya untuk matematika, seperti yang ditulis oleh Arago, “Kehidupan ini indah hanya dalam dua hal: mempelajari matematika dan mengajarkannya.”

DEFINISI DISTRIBUSI POISSON

Distribusi poisson adalah Percobaan-percobaan yang menghasilkan nilai-nilai numeric suatu variable acak X,jumlah keluaran yang terjadi selama suatu selang waktu yang diketahui atau didalam suatu  daerah(ruang) yang ditentukan disebut sebagai percobaan Poisson.

CIRI – CIRI DISTRIBUSI POISSON

•Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan diselang waktu dan tempat yang lain yang terpisah.

•Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi.Hal ini berlakuhanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit.

•Peluang lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu yang singkat dan luasan tempat yang sama diabaikan.

SIFAT DISTRIBUSI POISSON

 Jumlah keluaran yang terjadi didalam satu selang waktu/daerah yang ditentukan tidak tergantung dari jumlah yang terjadi didalam setiap selang waktu/daerah ruang yang tak berhubungan lainnya. Dapat disimpulkan bahwa proses Poisson tidak memiliki memori

Probabilitas sebuah keluaran tunggal akan terjadi selama suatu selang waktu yang singkat atau dalam suatu daerah kecil sebanding dengan lama waktu/ukuran daerah itu dan tidak bergantung pada jumlah keluaran yang terjadi diluar selang waktu atau daerah ini

Probabilitas bahwa lebih dari satu keluaran akan terjadi didalam suatu selang waktu yang singkat atau jatuh pada suatu daerah yang kecil semacam itu dapat diabaikan

PROSES DARI DISTRIBUSI POISSON

 •Percobaan Bernoulli menghasilkan variable random X yang bernilai numerik, yaitu jumlah sukses yang terjadi.

•Jika pengamatan dilakukan pada suatu rentang interval waktu, maka dapat diamati bahwa variable random X adalah terjadinya sukses selama waktu tertentu

.•Jika perhatian ditujukan pada kejadian sukses yang muncul(lahir) pada suatu rentang yang kecil, maka terjadi sebuah proses kelahiran(birthatauarrivalprocess) atau dikenal sebagai proses Poisson

RUMUS DISTRIBUSI POISSON

 Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05.

Rumus pendekatannya adalah :

P ( x ; μ ) = e – μ . μ X

X ! Dimana : e = 2.71828

μ = rata – ratakeberhasilan = n . p

x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel

n = Jumlah / ukuran populasi

p = probabilitas kelas sukses

CONTOH SOAL

Contoh 1.1

1.Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.

Jawab :

Dik : n = 200, P = 0.01, X = 3, μ = n . p = 200 . 0.01 = 2

                                    P ( x ; μ ) = e – μ . μ X

            X!

                                    = 2.71828 – 2 . 2 3 = 0.1804 atau 18.04 %

            3!

Contoh studi kasus.

Jika rata – rata kedatangan λ = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x = 4 kedatangan dan t = 3 menit. Gunakan proses poisson!

Jawaban:

Dik : λ = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam maka 1 jam atau 60 menit adalah unit waktunya. Berarti 3 menit adalah 3 / 60 = 1 / 20 unit waktu maka t t = 1 / 20 dan x = 4

P ( x ) = e –λ . t . ( λ . t ) x

X!

P ( x ) = e –72 . ( 1/ 20 ) . ( 72 . 1 / 20 ) 4

4!

= 0.191 atau 19.1 %

Contoh 1.2

Sebuah pabrik ban menyatakan dari 5000 ban yang dikirim ke distributor sebanyak 1000 warnanya sedikit pudar. Seorang pelanggan membeli 10 ban dari distributor secara acak saja. Berapa probabilitasnya bahwa ada 3 buah ban yg warnanya sedikit pudar?

Jawab: Populasinya N=5000, ukuran sampelnya n=10 (n/N < 5%), jadi bisa dipakai distribusi binomial saja, dengan probabilitas warna sedikit pudar p=k/N = 1000/5000 = 0.2, dan tidak pudar q=1-p=0.8. Jumlah sampel n=10, banyak yg pudar x=3, berarti probabilitasnya :

                        P(x=3;n=10,p=0.2)= B(r≤3;n=10,p=0.2)-B(r≤2;n=10,p=0.2)

                        = 0.8791 -0.6778 = 0.2013 = 20%

Periksalah, jika dipergunkan distribusi hipergeometrik hasilnya=0.2015

Contoh 1.3

Kita akan membuat model untuk proses kedatangan panggilan pada sebuah sentral telepon. Untuk membuat perbandingan dengan 2 metoda terdahulu, kita akan mengajukan pertanyaan yang sama: Berapa besar peluangnya 5 kedatangan atau kurang dalam waktu 20 detik, dimana rata-rata ada satu kedatangan tiap 2 detik.

Solusi

Jumlah kedatangan dalam interval waktu adalah merupakan variable diskrit stochastic yg terdistribusi secara poisson. Parameter untuk distribusi poisson dalam contoh ini adalah α = 10, maka peluang 5 kedatangan atau kurang adalah:

           

     Pr { X ≤ 5} = P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5

                        =  e-10 + e-10 10 + e-10 (102/2!) + e-10 (103/3!) + e-10 (104/4!) + e-10 (105/5!)

                        = 0.000045 + 0.000454 + 0.002270 + 0.007567 + 0.01917 + 0.03733

            = 0.067

Contoh 1.4

Apabila probabilitas bahwa seorang akan mati terkena penyakit TBC adalah 0,001. dari 2000 orang penderita penyakit tersebut berapa probabilitasnya:

a. Tiga orang akan mati

b. Yang mati tidak lebih dari 1 orang

c. Lebih dari dua orang mati

Menggunakan tabel untuk distribusi Poisson

Untuk membantu memperoleh dengan cepat nilai probabilitas distribusi Poisson, table hasil distribusi Poisson akan sangat membantu. Penggunaan tabel distribusi Poisson menghendaki pengetahuan nilai tengah rata-rata hitung (µ= n.p) dan jumlah sukses X. Pada baris dapat dilihat nilai µ dan pada kolom dapat dilihat nilai X. Pada contoh 1.1 nilai µ = 15, X = 5 dengan melihat tabel dapat diketahui nilai probabilitas distribusi Poisson adalah 0,002.

Tabel Distribusi Poisson

X µ

1 2 2,5 3 4 5 6 7 8 9 10 15

0 0,368 0,135 0,082 0,050 0,018 0,007 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000

0,000

1 0,368 0,000

2 0,184 0,000

3 0,061 0,000

4 0,015 0,001

5 0,003 0,002

6 0,001 0,005

7 0,000 0,010

8 0,000 0,019

9 0,000 0,032

10 0,000 0,049

Menggunakan MS Excel Untuk Distribusi Poisson:

1 Klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function

2 Pilih menu statistical pada function category

3 Pilih menu Poisson pada fungsi name, kemudian tekan OK.

4 Setelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dialog seperti berikut:

5. Nilai P(X) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=)

KESIMPULAN:

1. Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu.

2. Distribusi Poisson mengkalkulasi distribusi probabilitas dengan kemungkinan sukses p sangat kecil dan jumlah eksperimen n sangat besar.

3. Rumus Distribusi Poisson suatu peristiwa

Ket P(x) = Nilai probabilitas distribusi poisson

µ = Rata-rata hitung dan jumlah nilai sukses, dimana µ = n . p

e = Bilangan konstan = 2,71828

X = Jumlah nilai sukses

P = Probabilitas sukses suatu kejadian