A. Integral Taktentu
Mengintegralkan suatu fungsi
turunan f(x) berarti mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x). Proses
pengintegralan disebut juga integrasi. Bentuk umum integral dari f(x) adalah:
∫
f(x) dx = F(x) + k
Di mana : ∫ :
tanda integral F(x) : integral particular
f(x) dx : diferensial dari F(x) k :
konstanta pengintegralan
F(x) + k : fungsi asli/fungsi asal
Contoh :
Untuk fungsi asal : F(x) = x2
+ 5 fungsi turunannya adalah f(x) = d F(x) = 2x.
Jika prosesnya dibalik, yakni
fungsi turunan f(x) diintegralkan, maka :
∫ f(x)dx = F(x) + k = x2 + k.
Notes : karena derivatif dari setiap konstanta
adalah nol, maka dalam mengintegralkan setiap fungsi turunan konstanta k tetap
dalam bentuk k. Artinya nilai konstanta tersebut tidak dengan sendirinya bisa
diisi dengan bilangan tertentu kecuali jika di dalam soal sudah ditentukan
nilai konstantanya. Karena ketidaktentuan nilai konstanta itulah bentuk
integral yang merupakan kebalikan dari diferensial dinamakan integral taktentu.
1) Kaidah Integral Taktentu
Integral pangkat
∫ xn dx = xn+1 + k n ≠ -1
n + 1
contoh:
∫ 4 dx = 4x0+1 + k
= 4x + k
0 + 1
2) Penerapan dalam Ekonomi
Integral Taktentu dalam ekonomi dapat
diaplikasikan untuk membuat fungsi total dari suatu fungsi marginal; seperti
fungsi biaya dan penerimaan total, fungsi utilitas total serta fungsi produksi
total.
Contoh :
1. Biaya
marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 - 6Q + 4.
Carilah persamaan biaya totalnya! Jika diketahui biaya tetapnya Rp. 4,
tentukanlah besarnya biaya totalnya!
Diketahui : MC
= 3Q2 - 6Q + 4 FC
= k = 4
Ditanya : pers. C.…? C
jika k = 4....?
Penyelesaian:
C = f(Q) → MC
= C′
Biaya total → C = ∫ MC dQ = ∫ f′ (Q) dQ
adalah integrasi C = ∫ MCdQ
dari biaya marginal = ∫ (3Q2 - 6Q + 4) dQ
= 3 Q2+1 – 6 Q1+1 + 4 Q0+1
2+1
1+1 0+1
= 3 Q3 – 6 Q2 + 4
Q1
3 2 1
C = Q3 - 3Q2 + 4Q + k
Jika k = 4 → C = Q3 - 3Q2 + 4Q
+ k
C
= Q3 - 3Q2 + 4Q + 4
2. Carilah
persamaan penerimaan total dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR
= 16 – 4Q!
Diketahui : MR
= 16 – 4Q
Ditanya : pers. R….?
Penyelesaian:
R = f(Q) → MR = R′
Penerimaan total →
R = ∫ MR dQ = ∫ f′ (Q) dQ
adalah integral dari R = ∫ MR dQ
penerimaan marjinal = ∫ (16 – 4Q) dQ
=
16Q – 2Q2
Notes : Dalam
persamaan penerimaan total konstanta k = 0, sebab penerimaan tidak akan ada
jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.
3. Carilah persamaan utilitas total dari
seorang konsumen jika utilitas marjinalnya MU = 90 – 10Q!
Diketahui : MU = 90 – 10Q
Ditanya
: pers.
U….?
Penyelesaian:
U = f(Q) → MU = U′
Utilitas total → U = ∫ MU dQ = f′ (Q) dQ
adalah integral dari U = ∫
MU dQ
utilitas marjinal U = ∫ (90 – 10Q) dQ
U = 90Q – 5Q2
Notes
: Dalam persamaan utilitas total
konstanta k = 0, sebab kepuasan konsumen tidak akan ada jika tak ada barang
yang dikonsumsi
4. Produk marjinal sebuah perusahaan
dicerminkan oleh MP = 18x – 3x2 . carilah persamaan produk totalnya!
Diketahui : MP = 18x – 3x2
Ditanya
: pers.
P….?
Penyelesaian
:
P = f(x) di mana : P
: hasil produksi, x : faktor
produksi
→ MP
= P′
Produk total P
= ∫ MPdX = ∫ f′ (x) dX
adalah integral dari P
= ∫ MPdX
produk marjinal P = ∫ (18x – 3x2 ) dX
P = 9x2 – x3
B. Integral Tertentu
Adalah integral dari suatu
fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu.
Integral jenis ini digunakan untuk menghitung luas area yang terletak di antara
kurva y = f(x) dan sumbu-horizontal (x), dalam suatu rentang wilayah yang
dibatasi oleh x = a dan x = b. Bentuk umumnya :
b b
∫ f(x)dx =
[ F(x) ] =
F(b) - F(a)
a a
di mana : a (batas-atas integrasi) a < b – a (batas-bawah integrasi)
contoh :
5
5 5
∫ x4 dx = [ x4+1 ] = 1[x5]
= 1 ( 55 – 25)
= 1 ( 3125 – 32)
2 4 + 1 2 5
2 5 5
=
618,6
Penerapan dalam Ekonomi
a. Surplus Konsumen
Mencerminkan suatu keuntungan
lebih (surplus) yang dinikmati konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga
pasar suatu barang. Dalam grafik, besarnya surplus konsumen ditunjukkan oleh
luas area di bawah kurva permintaan tetapi di atas tingkat harga pasar. Bentuk
umum surplus konsumen:
Qe P
Cs
= ∫ f(Q) dQ – Qe Pe atau ∫ f(P) dP
0 Pe
b. Surplus Produsen
Mencerminkan suatu keuntungan
lebih (surplus) yang dinikmati produsen tertentu berkenaan dengan tingkat harga
pasar dari barang yang ditawarkan. Dalam grafik, besarnya surplus produsen
ditunjukkan oleh luas area di atas kurva penawaran tetapi di bawah tingkat
harga pasar. Bentuk umum surplus produsen:
Qe P e
Ps
= Qe Pe – ∫ f(Q) dQ
atau ∫ f(P) dP
0 P
Contoh:
Fungsi penawaran dan permintaan suatu barang di
pasar masing-masing dinyatakan dalam persamaan Q = -30 + 5P dan Q = 60 – 4P.
Hitunglah surplus konsumen dan produsen!
Diketahui : permintaan
: Q = 60 – 4P → P = 15
– 0,25Q
Penawaran
: Q = -30 + 5P → P = 6 +
0,2Q
Ditanya : Cs….? Ps….?
Penyelesaian :
Formula keseimbangan : Qd = Qs
60 – 4P = -30 + 5P
5P + 4P = 60 + 30
9P
= 90
P =
10 ………………. (P = Pe)
P = 10 → Q = 60 – 4P
Q = 60 – 4(10)
Q
= 60 – 40 = 20 ……......... (Q = Qe)
Jadi, Qe = 20 dan Pe = 10
*Surplus Konsumen
Cara I:
Qe
Cs = ∫ f(Q) dQ – Qe Pe
0
20
Cs = ∫ (15 – 0,25Q) dQ – (20)(10)
0
20
Cs = [15Q – 0,125Q2] – 200
0
Cs = ((15.20) – 0,125(20)2)
– (15.0) – 0,125(0) 2) - 200
Cs = ((300 – 50) – 0) - 200
= 250 – 200
= 50
Cara II:
Q = 60 – 4P
Jika P = 0 → Q = 60
Jika Q = 0 → P = 15 ………………(P = P)
P 15
Cs
= ∫ f(P) dP → Cs = ∫ ( 60 – 4P )dP
Pe
10
15
Cs = [ 60P – 2P2 ] → Cs
= { 60(15) – 2(15)2 } – { 60(10) – 2(10)2 }
10
Cs
= ( 900 - 450 ) – ( 600 – 200 )
Cs
= 450 – 400
= 50
Jadi, surplus konsumen adalah
50
*Surplus Produsen
Cara I:
Qe
Ps =
Qe Pe – ∫ f(Q) dQ
0
Qe
Ps =
(20)(10) – ∫ f(6 + 0,2Q) dQ
0
20
Ps =
200 – [6Q + 0,1Q2]
0
Ps =
200 – ((6.20) + (0,1(20)2) –
(6.0) + (0,1(0) 2)
Ps =
200 – ((120 + 40) – 0)
= 200 – 160
= 40
Cara II:
Q = -30 + 5P
Jika P = 0 → Q = - 30
Jika Q = 0 → P = 6 ………………(P = P)
Pe 10
Ps
= ∫ f(P) dP → Ps
= ∫ (-30 + 5P )dP
P
6
10
Ps = [ -30P + 2,5P2 ]
6
Ps = { -30(10) +
2,5(10)2 } – { -30(6) + 2,5(6)2 }
Ps = ( -300 + 250 ) – (
-180 + 90 )
Ps =
-50 + 90
= 40
Jadi,
surplus produsen adalah 40
0 komentar:
Posting Komentar