DISTRIBUSI POISSON (1)

Sekilas Tentang Distribusi Poisson

Distribusi poisson (dalam wikipedia) diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siméon-Denis Poisson (1781–1840), dilahirkan di Pithiers pada tanggal 21 Juni 1781. Poisson terkenal karena penerapan ilmu matematikanya dalam mekanika dan fisika. Usaha dan karya ilmiahnya ada di sekitar 300 sampai 400 buah. Tulisannya dalam Traité de mécanique, dipublikasikan dalam dua volume pada tahun 1811 dan 1833, yang manjadi standar kerja dalam mekanika dalam waktu yang lama. Salah satu teorinya yaitu Traité mathématique de la chaleur tahun 1835 ditambah sebuah suplemen pada tahun 1837, dan karyanya yang lain adalah Recherches sur la probabilitié des jugements (1837). Recherches sur la probabilitié des jugements merupakan sebuah karya penting dalam ilmu probabilitas yang dipublikasikan pada tahun 1837, di tahun ini juga distribusi poisson pertama kali muncul (http://wordpress/distribusi_poisson, 2010).

Distribusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam situasi tertentu (http://www.snapdrive.net, 2010).

Distribusi poisson dapat digunakan untuk menentukan probabilitas dari sejumlah sukses yang ditentukan. Kejadian-kejadian terjadi dalam ruang kontinyu. Proses poisson seperti proses Bernoulli, hanya berbeda pada sifat kontinuitasnya saja (Haryono, 1994). Distribusi poisson banyak digunakan dalam hal berikut:

1.   Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang, luas, atau panjang tertentu, seperti menentukan probabilitas dari:

a.   Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan.

b.   Banyaknya bakteri dalam 1 tetes atau 1 liter air.

c.   Banyaknya kesalahan ketik per halaman sebuah buku.

d.   Banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama minggu pertama pada bulan April.

2.   Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n≥ 30) dan p kecil (p < 0,1).

Percobaan poisson adalah percobaan yang menghasilkan peubah acak X yang bernilai numerik,yaitu banyaknya sukses selama selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu. Selang waktu tertentu dapat berupa sedetik, semenit, sejam, sehari, seminggu maupun sebulan. Daerah tertentu dapat berupa satu meter, satu kilometer persegi dan lain-lain. Distribusi peluang peubah acak poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu, diberikan oleh (http://kur2003.if.itb.ac.id, 2010):

Keterangan:

x  : 0,1,2, …

μ  : Rata-rata banyaknya sukses.

e  : Bilangan alam (2,71828).

Pengertian Distribusi Poisson

Distribusi peluang suatu peubah acak poisson X disebut distribusi poisson dan dinyatakan dengan p(x;μ), karena nilainya hanya tergantung pada μ, yaitu rata-rata banyaknya sukses yang terjadi pada selang waktu atau daerah tertentu. Rataan dan variansi distribusi poisson p(x; μ) keduanya sama dengan μ. Berikut ini adalah penjelasan mengenai populasi (n) dan peluang (p) pada distribusi poisson.

1.         Bila n besar dan p dekat dengan nol, distribusi poisson dapat digunakan,  dengan μ = np, untuk menghampiri peluang binomial.

2.        Bila p dekat dengan 1, distribusi poisson masih dapat dipakai untuk menghampiri peluang binomial dengan mempertukarkan apa yang telah dinamai dengan sukses dan gagal, jadi dengan mengganti p dengan suatu nilai yang dekat dengan nol (http://kur2003.if.itb.ac.id, 2010).

Sebaran poisson dan binom memiliki histrogram yang bentuknya hampir sama bila n besar dan p kecil (dekat dengan 0). Kedua kondisi itu dipenuhi sebaran poisson dengan  = np dapat digunakan untuk menghampiri peluang binom. P nilainya dekat dengan 1 dapat saling menukarkan apa yang telah didefinisikan sebagai keberhasilan dan kegagalan, dengan demikian mengubah p menjadi suatu nilai yang dekat dengan 0 (Walpole, 1995).

Sifat Percobaan Poisson

Suatu percobaan yang dilakukan sebanyak N kali, menghasilkan peubah acak X, misalkan banyaknya sukses selama selang waktu tertentu, dimana peluang yang sangat kecil (p mendekati 0), maka percobaan tersebut dinamakan poisson (http://elearning.gunadarma.ac.id, 2010). Beberapa sifat distribusi poisson adalah sebagai berikut (http://kur2003.if.itb.ac.id, 2010):

1.    Banyaknya sukses terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu tidak terpengaruh oleh apa yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang dipilih (bebas).

2.    Peluang terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam selang waktu yang amat pendek atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya daerah dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut.

3.    Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan.

Bilangan X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan poisson disebut peubah acak poisson dan sebaran peluangnya disebut sebaran poisson, karena nilai-nialai peluangnya hanya bergantung pada , yaitu rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah yang diberikan (Walpole, 1995).

Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

Pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas-probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa  n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebihdari 20 dan p adalah 0,05 atau kurang dari 0,05. Pendekatan ini rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan rumus binomial. Rumus pendekatannya adalah (http://www.snapdrive.net, 2010):

Keterangan:

e : Bilangan alam (2,71828).

x : Banyaknya unsur berhasil dalam sampel.

n : Jumlah data.

p : Probabilitas kelas sukses.

Peristiwa Kedatangan pada Distribusi Poisson

Suatu proses atau peristiwa kedatangan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu dapat digolongkan sebagai proses keatangan poisson jika memenuhi beberapa kriteria tertentu. Berikut ini adalah beberapa kriteria pada peristiwa kedatangan dalam distribusi poisson (http://ma-dasar.gunadarma.ac.id/wp-content, 2010)

1.      Tingkat kedatangan rata-rata setiap unit waktu adalah konstan.

2.      Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada apa yang terjadi di interval waktu yang sudah berlalu. Hal ini memiliki makna bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan di waktu berikutnya adalah sama.

3.      Probabilitas untuk peristiwa lebih dari satu kedatangan akan semakin mendekati nol jika interval semakin pendek. Misalnya, jumlah pengunjung suatu restoran tidak mungkin lebih dari satu orang yang dapat melalui pintu masuk dalam waktu satu detik. 

Proses perhitungan secara manual dapat digunakan untuk menentukan probabilitas suatu kedatangan yang berdistribusi poisson. Perobabilitas kedatangan yang sesuai dengan kriteria distribusi poisson dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

Keterangan:

λ :  Tingkat kedatangan rata-rata tiap unit waktu.

t  :  Jumlah unit waktu.

x :  Jumlah kedatangan dalam t unit waktu.

Materi PPT silahkan download disini