APLIKASI INTEGRAL DALAM EKONOMI

KATA PENGANTAR

          Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini dengan judul Aplikasi Integral Dalam Surplus Konsumen dan Surplus Produsen. Diharapkan makalah ini dapat memberikan informasi kepada kita semua tentang Aplikasi Integral Dalam Surplus Konsumen dan Surplus Produsen.

          Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak sangat diharapkan demi kesempurnaan makalah ini. Akhir kata, terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah swt senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.

Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Telah kita ketahui bahwa hitung diferensial adalah kita mencari laju perubahan suatu fungsi, sedangkan dalam hitung integral kita mencari fungsi yang laju perubahannya diketahui. Proses seperti ini disebut integral atau anti turunan (antiderivative).

Hal yang menarik perhatian adalah bahwasanya ada banyak masalah ekonomi yang ternyata di dalam penyelesaiannya tersebut menggunakan cara-cara kalkulus. Tetapi dari pernyataan tersebut, masih ada suatu kejanggalan pada masyarakat, yang menjadi pertanyaan mereka adalah apakah benar bahwa kalkulus tersebut dapat diterapkan dalam bidang ekonomi? Oleh karena itu, saya bermaksud memberikan suatu pengetahuan kepada masyarakat pada umumnya dan mahasiswa pada khususnya agar mereka setidaknya dapat menambah wawasannya tentang kalkulus yang diterapkan dalam bidang ekonomi.
Banyak diantara materi kalkulus yang diterapkan dalam bidang ekonomi, diantaranya fungsi transenden yang terdiri dari fungsi logaritma dan fungsi eksponen, limit, diferensial fungsi sederhana, diferensial fungsi majemuk, dan integral. Namun, diantara banyaknya materi kalkulus yang dipergunakan dalam menyelesaikan masalah ekonomi tersebut, yang akan saya ambil sebagai materi makalah saya adalah mengenai cara menentukan surplus produsen dan surplus konsumen. Proses mencari surplus produsen dan surplus konsumen ini adalah mengintegralkan fungsi penerimaan dan penawaran dengan harga atau batas tertentu.

B. Rumusan Masalah

1.      Bagaimana perhitungan integral tertentu?

2.    Apa saja sifat-sifat integral tertentu?

3.  Bagaimana aplikasi integral tertentu dalam surplus konsumen dan surplus produsen?

C. Tujuan Penuisan

1.      Untuk mengetahui cara perhitungan integral tertentu

2.   Untuk mengetahui sifat-sifat integral tertentu

3.  Untuk  mengetahui  bagaimana  aplikasi  integral  tertentu  dalam surplus konsumen dan surplus produsen

BAB II

PEMBAHASAN

A. Integral Tertentu

Kalau ʃf(x).dx disebut integral tak tentu yang merupakan fungsi F (x) + c yang turunannya = F’(x) = f (x) maka yang dimaksud dengan integral tertentu adalah integral yang mempunyai batas bawah dan batas atas, yang tertulis dalam bentuk

_aʃ^b f(x).dx ; a adalah batas bawah dan b adalah batas atas.

Harga integral ini adalah tertentu yang ditentukan oleh besarnya harga a dan b, yang merupakan selisih antara F (b) dan F (a).

Jadi, _aʃ^b f(x)= [F(x)]^b_a =F(b) – F(a)

Notasi [F(x)]^b_a berarti bahwa pada fungsi F(x), harga x harus diganti dengan harga b dan a, kemudian hitunglah selisih antara F(b) dengan F(a).

Dengan demikian pada perhitungan integral tertentu, kita harus menentukan dulu hasil dari integral tak tentu, tetapi tidak lagi memasukkan faktor konstan c pada perhitungan F(b) – F(a) karena dari selisih F(b) – F(a) faktor c akan hilang.

Contoh:

₂ʃ⁴ (3x²  + 4x – 2).dx = [x³ + 2x² – 2x]⁴₂

                                 = (4³ + 2.4² – 2.4) – (2³ + 2.2² – 2.2)

                                 = 88 – 12 = 76

B. Sifat-sifat Integral Tertentu

1. _aʃ^bf(x).dx = 0

2. _aʃ^bf(x).dx = -_aʃ^bf(x).dx

3. _aʃ^bf(x).dx + _aʃ^cf(x).dx = _aʃ^cf(x).dx

4. _aʃ^b{f(x) + g(x)}.dx = _aʃ^bf(x).dx + _aʃ^bg(x).dx

5. _aʃ^bk.f(x).dx = k._aʃ^bf(x).dx ; (k = bilangan konstan)

C. Aplikasi Integral Tertentu dalam Surplus Konsumen dan Surplus Produsen

Operasi hitung integral dapat diterapkan dalam persoalan ekonomi, misalnya dalam integral tak tentu digunakan menghitung fungsi total, dan dalam integral tertentu digunakan untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen.

Jika diketahui fungsi demand dan supply suatu barang, operasi hitung integral dapat dipakai untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen pada saat market equilibrium atau pada tingkat harga tertentu.

1.      Surplus Konsumen

      Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi (mahal) dari harga equilibrium P₀ akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk tiap unit barang yang dibeli dengan harga P₀. Pada saat equilibrium, jumlah total pengeluaran (total expenditure) konsumen = P₀.X₀ yang dalam gambar ini adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan konsumen yang tadinya bersedia membeli barang ini lebih tinggi dari harga P₀ akan menyediakan uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva demand yang sumbu tegak P, sumbu mendatar X, dan garis ordinat x = x₀ (yakni = luas daerah 0ABF).

     Karena itu, besarnya surplus konsumen yakni selisih antara jumlah uang yang disediakan dikurangi dengan jumlah pengeluaran nyata konsumen sehingga surplus konsumen dapat dinyatakan sebagai berikut:

     SK = Luas 0ABF – Luas 0ABC = Luas daerah CBF = _oʃ^xof(x).dx – P₀.X₀ 

Jika dari fungsi demand p = f(x) maka hasil dari ₀ʃ^af(x).dx adalah jumlah uang yang disediakan.

2.      Surplus Produsen

   Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang dengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalam penjualan sejumlah barang. Pada saat harga terjadi price equilibrium P₀ maka penjual barang yang bersedia menjual barang ini dibawah harga p_o akan memperoleh kelebihan harga jual untuk tiap unit barang yang terjual yakni selisih antara p_o dengan harga kurang dari p_o.

    Sedangkan, pada saat equilibrium, penjual barang ini akan menerima hasil penjualan barang sejumlah P₀ . X₀ yang dalam gambar adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan sebenarnya penjual barang ini bersedia menerima sejumlah uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva supply dengan sumbu P, sumbu X dan garis ordinat x = x_o (yakni luas daerah 0ABE), maka penjual barang ini akan memperoleh surplus produsen (penjual) sebanyak berikut ini:

           

    SP = Luas 0ABC – Luas daerah 0ABE = P₀.X₀ - _oʃ^xcg(x).dx

CONTOH SOAL :

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran

D: p = -¹/₂ x² – ¹/₂ x + 33

S: p = 6 + x

Dapatkan besarnya surplus konsumen pada saat terjadi markwt equilibrium (ME).

Penyelesaian:

ME terjadi pada saat D = S

-¹/₂ x² – ¹/₂ x + 33 = 6 + x

-¹/₂ x² – 1¹/₂ x + 27 = 0

X² + 3x – 54 = (x + 9) (x – 6) = 0

Jadi, kuantitas equilibrium x_o = 6 unit price equilibrium p_o = 6 + 6 = 12 satuan rupiah.

Karena market equilibrium terjadi pada x_o = 6 dan p_o = 12 maka;

SK = ₀ʃ⁶(-¹/₂ x² – ¹/₂ x + 33).dx – 12.6

       = [-¹/₆ x³ – ¹/₄ x² + 33x]⁶₀

         = (-¹/₆ 6³ – ¹/₄ 6² + 33.6) – (0) – 12.6

       = (-36 – 9 + 198) – 72

       = 81

Angka itu adalah selisih antara jumlah uang yang disediakan konsumen dengan jumlah uang yang dibelanjakan. Berdasarkan contoh diatas, surplus produsen adalah:

SP = 12.6 - ₀ʃ⁶ (6 + x)dx

       = 72 – [6x + ¹/₂ x²]⁶₀

       = 72 – ((6.6 + ¹/₂ 6²)-0)

       = 72 – 54

       = 18

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

1.      Integral tertentu adalah integral yang mempunyai batas bawah dan batas atas, yang tertulis dalam bentuk

_aʃ^b f(x).dx ; a adalah batas bawah dan b adalah batas atas.

2.      Besarnya surplus konsumen, yakni selisih antara jumlah uang yang disediakan dikurangi dengan jumlah pengeluaran nyata konsumen sehingga surplus konsumen dapat dinyatakan sebagai berikut:

  SK = Luas 0ABF – Luas 0ABC = Luas daerah CBF = _oʃ^xof(x).dx – P₀.X₀

Jika dari fungsi demand p = f(x) maka hasil dari ₀ʃ^af(x).dx adalah jumlah uang yang disediakan.

3.      Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang dengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalam penjualan sejumlah barang.

   SP = Luas 0ABC – Luas daerah 0ABE = P₀.X₀ - _oʃ^xcg(x).dx

B. Saran

Dengan adanya makalah ini, penulis menyarankan kepada pembaca untuk lebih banyak mencari tahu kegunaan integral dalam kehidupan karena masih banyak lagi kegunaan integral dalam kehidupan yang tidak hanya yang penulis jelaskan dalam makalah ini. Dan jika perlu, gunakanlah integral ini untuk menyelesaikan masalah tertentu dalam kehidupan.

DAFTAR PUSTAKA

Bumolo, Husain dan Mursinto, Djoko. 2005. Matematika untuk Ekonomi dan Aplikasinya Edisi 7. Malang: Bayumedia Publishing.

http://mikro-ekonomi.blogspot.com/2009/02/efisiensi-pasar.html, diunduh pada 17 Juni 2012

Nababan M. 1988. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: Erlangga.