APLIKASI FUNGSI LINEAR DALAM EKONOMI

Dalam sektor mikro ekonomi, fungsi linear diterapkan untuk:

1)   Fungsi permintaan, penawaran, dan keseimbangan pasar

Fungsi permintaan menghubungkan variabel harga dengan variabel jumlah barang/jasa yang diminta. Bentuk umum fungsi permintaan:
Q_d = a – bP                              atau                             P = a/b  -  1/b  Q

                                                                                                

Fungsi penawaran menghubungkan variabel harga dengan jumlah barang/jasa yang ditawarkan. Bentuk umum fungsi penawaran:
Q_s = -a + bP                            atau                             P = a/b  +  1/b  Q

                                                                                                                      

Keseimbangan pasar (equilibrium) terjadi karena pertemuan permintaan dan penawaran, dimana
Q_d  =  Q_s

Contoh soal :

Jika fungsi permintaan adalah P = 20 – Q  dan fungsi penawaran adalah P = 6 + 2Q tentukan :

a)      berapa jumlah produk yang diminta dan ditawarkan pada tingkat harga Rp. 10 perunit?

b)      berapa harga perunit barang jika jumlah barang yang diminta dan ditawarkan adalah 5 unit?

c)      tentukan jumlah dan harga keseinbangan pasar yang disepakati!

Penyelesaian:

a)   fungsi permintaan: P = 20 – Q

       Qd = 20 – P                     Qd = 20 – 10               Q = 10   

Jadi jumlah produk yang diminta pada tingkat harga Rp. 10 adalah sebanyak 10 unit.

fungsi penawaran : P   = 6 + 2Q

                               2Q = -6 + P                                  Q = -3 + 0,5 P                                                                        Q = -3 + 0,5 (10)                           Q = -3 + 5            Q = 2

Jadi jumlah produk yang ditawarkan pada tingkat harga Rp. 10 adalah sebanyak 2 unit.

b)   fungsi permintaan: P = 20 – Q           P = 20 – 5                    P = 15

      jadi harga produk jika jumlah yang diminta 5 unit adalah Rp. 15.

      fungsi penawaran:  P = 6 + 2Q          P = 6 + 2 (5)                P = 6 + 10       P = 16

      jadi harga produk jika jumlah yang ditawarkan 5 unit adalah Rp. 16.

c)  fungsi permintaan:  P = 20 – Q                       Q  =  20  -  P

     fungsi penawaran:  P = 6 + 2Q                       Q  =  -3  +  0,5P

     Qd = Qs         

     20 – P = -3 + 0,5 P

     20 + 3 = 0,5 P + P

            23 = 1,5 P

            Pe = 15,33

      Jadi harga keeimbangan adalah Rp. 15,33.

      Substitusi hasil Pe = 15,33 ke salah satu persamaan :

      Q = 20 – P

      Q = 20 – 15,33

      Qe =  4,67

      Jadi jumlah keseimbangan adalah 4,67 unit.

2)   Pengaruh pajak-spesifik terhadap keseimbangan pasar

Pajak (t) yang dikenakan atas penjualan suatu barang menyebabkan kenaikan harga jual barang, sebab setelah kenaikan pajak akan menyebabkan produsen akan berusaha mengalihkan beban pajak tersebut kepada konsumen dengan menawarkan harga jual yang lebih tinggi. Hal ini berakibat pada terciptanya harga keseimbangan yang lebih tinggi dan jumlah keseimbangan yang lebih rendah. Persamaan penawaran akan berubah dari

                   P = f(Q)    yakni  P = a + bQ   menjadi :

                   P  =  a  +  bQ  +  t                 atau                 P = (a + t) + bQ

Contoh soal:

Jika fungsi permintaan adalah P = 20 – Q  dan fungsi penawaran adalah P = 6 + 2Q dengan beban pajak produk perunit sebesar Rp. 2,- tentukanlah:

a.       harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum pajak!

b.      harga dan jumlah keseimbangan pasar setelah pajak!

Penyelesaian:

a.   (hasil sudah diketahui pada contoh soal keseimbangan pasar) yaitu : Pe = 15,33  dan Qe = 4,67.

b.   Harga dan jumlah keseimbangan setelah pajak (t = 2)

Fungsi permintaan :    P = 20 – Q                                 

Fungsi penawaran :    P = 6 + 2Q + 2

                                 P = 8 + 2Q

formula keseimbangan :             Pd  =  Ps

                                    20  -  Q      =  8  +  2Q           

                                    2Q + Q      =  20  -  8

                                            3Q     =  12

                                             Q'_e    =  12/3

                                             Q'_e    =   4

Jadi, jumlah keseimbangan setelah pajak adalah 4.

Substitusi Q'_e = 4 ke salah satu persamaan:

                                    P   = 20 – Q

                                    P   = 20 – 4

                                    P'_e = 16

Jadi, harga keseimbangan setelah pajak adalah Rp. 16,-

3)   Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan pasar

Subsidi adalah kebalikan/lawan dari pajak, sehingga sering juga disebut pajak negatif. Subsidi yang diberikan terhadap penjualan suatu barang menyebabkan harga jual menjadi rendah karena biaya produksi pada produsen rendah, sehingga harga keseimbangan di pasar lebih rendah dari sebelum subsidi dan jumlah keseimbangannya menjadi lebih banyak. Persamaan penawaran akan berubah dari bentuk awal :  P = a + bQ   menjadi :

                  P'  =  a  +  bQ  -  s                  atau                 P'  =  (a  -  s)  +  bQ

Contoh soal:

Jika fungsi permintaan adalah P = 20 – Q  dan fungsi penawaran adalah P = 6 + 2Q dan pemerintah memberikan subsidi sebesar 1,5 untuk setiap unit barang yang diproduksi; tentukanlah:

a.       harga dan jumlah keseimbangan pasar tanpa subsidi!

b.      harga dan jumlah keseimbangan pasar dengan subsidi!

Penyelesaian:

a.   (hasil sudah diketahui pada contoh soal keseimbangan pasar) yaitu : Pe = 15,33  dan Qe = 4,67.

b.   harga dan jumlah keseimbangan pasar dengan subsidi :

Fungsi permintaan : P = 20 – Q                                  Q = 20 - P                              

Fungsi penawaran :  P = 6 + 2Q – 1,5

                                 P = 4,5 + 2Q                              2Q = -4,5 + P

                                                                                      Q = -2,25 + 0,5P

Formula keseimbangan :  Qd  =  Qs

                                    20 – P  =  -2,25 + 0,5P

                                0,5P + P  = 20 + 2,25

                                      1,5P   = 22,25

                                          P'   = 14,83

Jadi, harga keseimbangan dengan subsidi adalah sebesar Rp. 14,83,-

Substitusi P'   = 14,83 ke dalam salah satu persamaan :         Q = 20 – P

                                                                                                Q = 20 – 14,83

                                                                                               Q' = 5,17

Jadi, jumlah keseimbangan dengan subsidi adalah 5,17.

4)   Analisis Pulang-Pokok

Penerimaan yang diperoleh dan biaya yang dikeluarkan suatu perusahaan dalam bisnisnya dapat digunakan untuk menganalisis keuntungan / kerugian perusahaan yang bersangkutan. Jika TR > TC berarti perusahaan memperoleh keuntungan ( profit positif; π > 0 ) dan jika TR < TC maka perusahaan mengalami kerugian ( profit negatif; π < 0 ). Untuk itu, diperlukan sebuah konsep yang dapat digunakan untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan / terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Konsep ini dikenal dengan konsep ‘pulang-pokok’ (break even point). Break Even Point (BEP) terjadi apabila TR = TC atau perusahaan berada pada titik impas; di mana perusahaan tidak memperoleh keuntungan tapi juga tidak menderita kerugian ( profit nol; π = 0 ).

Total profit dapat dicari dengan :                         π   =   TR  -  TC

Contoh soal:

Seorang pengusaha bubur ayam mempunyai 4 karyawan dengan gaji perbulan Rp. 100.000 perkaryawan. Biaya pengadaan bahan baku bubur ayam rata-rata Rp. 2.000.000 perbulan dengan kalkulasi biaya bubur ayam rata-rata perporsi Rp. 600. Pengusaha tersebut menjual bubur ayamnya dengan harga Rp. 800 perporsi. Dalam keadaan tersebut berapa porsi bubur ayam yang harus dijual agar tidak rugi serta berapa besar penerimaan total dan biaya total yang dicapai saat itu?

Penyelesaian:

Diketahui : persamaan fungsi biaya,                     TC = 2.400.000 + 600Q

                   Persamaan fungsi penerimaan,           TR = 800Q

Penjualan minimum yang harus dicapai  dengan konsep BEP:

                              TR       =          TC

                          800Q       =          2.400.000 + 600Q

                  800Q - 600Q   =          2.400.000

                              200Q   =          2.400.000

                                    Q   =          2.400.000 / 200

                                    Q   =          12.000

Jadi, penjualan minimum yang harus dicapai supaya tidak rugi adalah 12.000 porsi.

penerimaan total dan biaya total adalah:

                  TR = 800Q                                          TC = 2.400.000 + 600Q

                  TR = 800 (12.000)                              TC = 2.400.000 + 600 (12.000)

                  TR = 9.600.000                                   TC = 9.600.000

Jadi, penerimaan total dan biaya total saat BEP adalah sebesar Rp. 9.600.000

Read More

KONSEP FUNGSI LINIER & CARA MENGGAMBARNYA

Materi Fungsi Linier & Cara Menggambarnya.

Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien, dan konstanta.

 

Variabel adalah unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas: variabel yang menjelaskan variabel lainnya.  Adapun Variabel terikat adalah variabel yang diterangkan oleh variabel bebas.

 

Koefisien adalah bilangan atau angka yang diletakkan tepat di depan suatu variabel, terkait dengan variabel yang bersangkutan.

Konstanta sifatnya tetap dan tidak terkait dengan suatu variabel apapun.

1). Pengertian fungsi linier

Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsi

yang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering disebut

dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk umumnya sbb.:

f : x → mx + c atau f(x) = mx + c atau y = mx + c

m adalah gradien / kemiringan / kecondongan dan

c adalah konstanta

2). Melukis grafik fungsi linier

Langkah-langkah melukis grafik fungsi linier

a Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1, 0)

b Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B( 0, y1)

c hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus

Persamaan linier juga dapat ditulis ditulis dengan simbol y = ax + b (ini untuk memudahkan kita dalam memahami gambar)

Jika b bernilai positif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri bawah ke kanan atas
Jika b bernilai negatif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri atas ke kanan bawah
Jika b bernilai nol : digambarkan garis yg sejajar dengan sumbu datar x

 

Gambar Fungsi Linear

 

  

Apabila b bernilai negatif : Y = 10 - 2X  maka kurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawah

 
Apabila b bernilai positif : Y = 2 + 2X  maka kurva bergerak dari kiri bawah ke kanan atas             

       

3). Gradien dan persamaan garis lurus
a). Garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) memiliki gradien m:
m = y1-y2 atau m = y2-y1
x1-x2 x2-x1

b. Persamaan garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah:
y-y1 = x-x1
y2-y1 x2-x1

c. Persamaan garis lurus (pgl) yang bergradien m dan melalui titik A(x1, y1) adalah:
y = m (x – x1 ) + y1

4). Menentukan gradien dari persamaan garis lurus (pgl)
@ Persamaan garis lurus : ax + by = c maka gradiennya m = - a/b
@ Persamaan garis lurus : y = ax + b maka m = a
@ Garis yang sejajar sumbu x memiliki persamaan y = c dan m = 0
@ Garis yang sejajar sumbu y memiliki persamaan x = c dan tidak memiliki gradient

5). Titik potong dua buah garis
Menentukan titik potong dua buah garis lurus identik dengan menyelesaikan
penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel baik dengan metode eleminiasi,
metode substitusi maupun metode grafik

6). Hubungan dua buah garis
Dua garis yang bergradien m1 dan m2 dikatakan sejajar jika m1 = m2 dan tegak lurus jika m1 x m2 = -1

Berimpit
Dua garis lurus akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari garis yan lain. Dengan demikian , garis akan berimpit dengan garis , jika

Sejajar
Dua garis lurus akan sejajar apabila lereng/gradien garis yang satu sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian , garis akan sejajar dengan garis , jika

Berpotongan
Dua garis lurus akan berpotongan apabila lereng/gradien garis yang satu tidak sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian , garis akan berpotongan dengan garis, jika

Tegak lurus
Dua garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng/gradien garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng/gradien dari garis yang lain dengan tanda yang berlawanan. Dengan demikian , garis akan tegak lurus dengan garis , jika atau

Read More