NILAI KUARTIL, DESIL DAN PERSENTIL

Dengan menggunakan dasar-dasar median, kita dapat meneruskan kepada perhitungan-perhitungan statistik yang dimaksudkan untuk membuat suatu ukuran atau norma yang digunakan sebagai pedoman untuk membuat kategori-kategori kualitas sekelompok individu. Berdasarkan suatu norma tertentu, seorang peneliti dapat memisahkan individu menjadi bermacam-macam kategori sesuai dengan keperluannya. Misalnya dengan membagi distribusi menjadi 2 kategori yaitu individu yang diterima dan ditolak dalam seleksi suatu pekerjaan. Dengan 4 kategori didapatkan kategori-kategori seperti baik sekali, baik, sedang dan tidak baik. Peneliti bisa mengembangkan sampai menjadi 10 bahkan 100 kategori. Pembuatan kategori ini penting terutama apabila peneliti akan membuat suatu kualifikasi, mengenai subyek penelitian. Misalnya subyek penelitian akan dibagi menjadi 4 bagian yang setiap bagiannya memiliki jumlah individu yang sama, dimana dasar pembagiannya adalah nilai yang dapat menjadi batas dari kelompok yang terdapat dalam distribusi.

            Tatacara yang digunakan untuk membuat norma dengan kategori disebut median (Me) dengan 4 kategori disebut Kuartil (K) dengan 10 kategori disebut desil (D) dan dengan 100 kategori disebut persentil (P). Apabila menghendaki pembagian jumlah kategori diluar macam-macam jumlah kategori tersebut, misalnya menginginkan pembagian kategori menjadi 3, 5, 9, 20 atau yang lainnya, maka dapat menggunakan rumus persentil. Cara perhitungan median tidak akan dibahas lagi dalam pembagian ini karena sudah dikaji panjang lebar pada bagian sebelumnya.

Kuartil

            Kita telah mengetahui bahwa median adalah nilai tengah data. Dengan kata lain, median membagi kelompok data menjadi dua bagian sama banyak, yaitu 50 % data berada di bawah median dan 50 % data berada di atas median. Konsep median dapat diperluas, yaitu kelompok data yang telah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak. Bilangan pembagian ada tiga, masing-masing disebut kuartil. Kuartil adalah suatu indeks yang dapat membagi suatu distribusi data menjadi 4 bagian atau kategori. Untuk membagi 4 bagian tersebut dibutuhkan 3 titik kuartil (K), dimana masing-masing titik kuartil diberi nama kuartil satu (K₁), Kuartil dua (K₂) dan kuartil tiga (K₃). Kuartil pertama disebut juga kuartil bawah, kuartil kedua disebut juga kuartil tengah, dan kuartil ketiga disebut juga kuartil atas.

Kuartil Satu (K₁)

            Kuartil satu (K₁) adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 25% frekuensi di bagian bawah dan 75% frekuensi di bagian atas distribusi. Rumus untuk menghitung K₁ adalah sebagai berikut:

Dimana,     x jumlah individu (N),  Kuartil Satu

 Batas Bawah nyata pada interval yang mengandung kuartil

 frekuensi kumulatif di bawah fk yang mengandung kuartil.

fd frekuensi pada interval yang mengandung Kuartil    i  = lebar interval

Tabel 3.12. Berikut adalah contoh untuk mencari kuartil satu.

Interval Nilai	f	fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 8 – 12 3 – 7	5 2 4 3 (6) 3	23 18 16 12 9 (3)
Jumlah	23	-

Diketahui,

   = 5,75 (terletak pada fk = 9 interval 8 – 12)

 7,5       3        6         i = 5

Maka, harga K₁ adalah

Kuartil Dua (K₂)

            Kuarti dua (K₂) adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 50% frekuensi dibawah distribusi dan 50% di atas distribusi. Oleh karena (K₂) membagi distribusi menjadi dua bagian secara sama, maka sebenarnya (K₂) tidak lain adalah median.

Tabel 3.13. merupakan contoh untuk mencari kuartil dua

Interval Nilai	f	fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 9 – 12 3 – 7	5 2 4 (3) 6 3	23 18 16 12 (9) 3
Jumlah	23	-

Diketahui,

 =11,5 (terletak pada fk = 12 interval 13 – 17

 12,5       9      3     i  = 5

Maka, harga K₂ adalah

Kuartil Tiga (K₃)

            Kuartil tiga (K₃) adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 75% frekuensi di bagian bawah dan 25% frekuensi di bagian atas. Rumus untuk menghitung (K₃) adalah sebagai berikut:

Tabel 3.14 merupakan contoh untuk mencari kuartil tiga

Interval Nilai	f	S fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 10 – 12 3 – 7	5 (2) 4 3 6 3	23 18 (16) 12 9 3
Jumlah	23	-

Diketahui,

= 17,25 (terletak pada fk = 18 interval 23 – 17)

 22,5        16       2        i = 5

Maka, harga K₃ adalah

Apabila semua nilai kuartil, yaitu K₁, K₂, dan K₃ kita menampakkan secara berurutan, maka akan bisa dibaca sebagai suatu norma pengukuran sebagai berikut:

Tabel 3.15. Norma Pengukuran Besar Nilai Kuartil

Jenis Kuartil	Nilai	Kategori
		Baik sekali
K3	25,63
		Baik
K2	16,67
		Sedang
K1	9,79
		Tidak baik

            

Berdasarkan tabel 3.15 dapat diketahui bahwa nilai-nilai kuartil tersebut menjadi batas dari kategori-kategori yang sudah bersifat kualitatif. Nilai K₁ = 9,70 menjadi batas antara kategori tidak baik sekali dengan sedang, nilai K₂ = 16,67 membatasi kategori sedang dengan baik dan nilai K₃ menjadi batas kategori baik dengan baik sekali. Dengan kata lain alternatif menghitung kuartil adalah:

Untuk data tidak berkelompok:  Q_i = Nilai yang ke – ,  i = 1,2,3……

Untuk data berkelompok        :   Q_i = L₀ + c ,  i = 1,2,3….

Contoh: Tentukanlah kuartil Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data upah bulanan 13 karyawan (dalam ribuan rupiah) berikut: 40,30,50,65,45,55,70,60,80,35,85,95,100.

Jawab:

Urutan data : 30,35,40,45,50,55,60,65,75,80,85,95,100.

Q_i = nilai ke – , di mana n = 13

Maka nilai kuartil Q₁, Q₂, Q₃ adalah sebagai berikut:

Q₁ = nilai ke - = nilai ke – 14/2 = nilai ke-3 ½

     = antara nilai ke -3 dan nilai ke-4

     = nilai ke-3 + ½ (nilai ke-4 – nilai ke-3)

     = 40 + ½ (85 – 40) = 42,5

Q₂ = nilai ke- = nilai ke-7 = 60

Q₃ = nilai ke-  = nilai ke-10 ½

     = nilai ke-10 + ½ (nilai ke-11 – nilai ke-10)

     = 80 + ½ (85 – 80) = 82,5.

Tabel 3.16 Berikut adalah contoh untuk data berkelompok yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi.

Modal	Nilai Tengah (X)	Frekuensi (f)
112 – 120 121 – 129 130 – 138 139 – 147 148 – 156 157 – 165 166 – 174	116 125 134 143 152 161 170	4 5 8 12 5 4 2

Tentukan nilai kuartil Q₁, Q₂ dan Q₃ dari data tersebut!

Jawab:

Menentukan terlebih dahulu kelas interval Q₁, Q₂ dan Q₃

Q₁, membagi data menjadi 25 % ke bawah dan 75 % ke atas.

Q_2, membagi data menjadi 50 % ke bawah dan 75 % ke atas.

Q_3, membagi data menjadi 75 % ke bawah dan 25 % ke atas.

Karena n = 40, maka Q₁ terletak pada kelas 130 – 138, Q₂ terletak pada kelas 139 – 147, dan Q₃ terletak pada kelas 148 – 156.

Q_i = L₀ + c

Untuk Q₁, maka L₀ = 129,5, F = 4 + 5 = 9, dan f = 8, sehingga diperoleh:

          Q₁ = 129,5 + 9  = 129,5 + 9 (0,125) = 130,625.

Untuk Q₂, maka L₀ = 138,5, F = 4 + 5 + 8 = 17, dan f = 12, sehingga diperoleh:

          Q₂ = 138,5 + 9  = 140,75.

Terlihat bahwa nilai Q₂ sama dengan median.

Untuk Q₃, maka L₀ = 147,5, F = 29, dan f = 5, sehingga diperoleh:

          Q₃ = 147,5 + 9  = 149,3

Desil (D)

            Desil (D) adalah suatu indeks yang membagi suatu distribusi data menjadi 10 bagian atau kategori. Jika suatu distribusi dibagi menjadi 10 kategori maka diperlukan 9 titik batas desil, yaitu D₁, D₂, D₃, D₄, D₅, D₆, D₇, D₈, dan D₉. Dasar perhitungan desil adalah menggunakan angka persepuluhan. D₁ = 1/10 N, D₂ = 2/10 N, D₅ = 5/10 N, D₉ = 9/10 N dan seterusnya. Rumus-rumus untuk menghitung desil:

Tabel 3.17 adalah contoh untuk mencari desil tiga (D₃)

terval Nilai		f		fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 8 – 12 3 – 7		5 2 4 3 (6) 3		23 18 16 12 9 (3)
Jumlah	23		-

Misalkan kita akan menghitung Desil tiga, maka langkah-langkah yang akan kita lakukan adalah sebagai berikut.

Diketahui,        = 6,69 (terletak pada fk = 9 interval 8 – 12)

 7,5            3         6       i  = 5

Maka nilai D₃ dapat dihitung sebagai berikut:

            Arti dari D₃ = 10,75 adalah bahwa nilai 10,75 itu membatasi 30% (3/10N) frekuensi di bawah distribusi dan 70% (7/10N) frekuensi di sebelah atas distribusi. Untuk penghitungan macam-macam desil yang lain menggunakan prosedur yang sama. Apabila nanti diteruskan sampai perhitungan D₅ maka akan dijumpai penggunaan angka dasar 5/10N yang harganya sama dengan ½ N (angka dasar pada median dan K₂), hal ini menunjukkan bahwa sebenarnya D₅ = Mdn = K₂.

Persentil (P)

            Pengertian-pengertian pada median, kuartil dan desil dapat digunakan untuk memahami pengertian yang terdapat pada persentil. Bedanya, jika median distribusinya dibagi menjadi 2 kategori, kuartil dibagi menjadi 4 kategori, desil dibagi menjadi 10 kategori, maka persentil distribusinya dibagi menjadi 100 kategori. Sehingga dalam perhitungannya nanti akan dijumpai sebanyak 99 titik persentil. Dari P₁, P₂ sampai dengan P₉₉.

            Angka dasar yang digunakan dalam persentil adalah perseratusan, misalnya untuk P₁ = 1/100.N, P₂₅ = 25/100.N (atau ¼ . N seperti angka dasar K₁, sehingga P₂₅ = K₁). Demikian juga untuk P₅₀ = 50/100.N (= ½.N, yang berarti bahwa P₅₀ = Mdn = K₂ = D₅). Kesamaan-kesamaan pada macam-macam pengukuran ini mudah dipahami karena angka dasar yang digunakan seringkali menghasilkan nilai yang sama meskipun penampakannya berbeda, hal ini akan kita temukan lagi misalnya: D₁ = P₁₀, D₂ = P₂₀, K₃ = P₇₅, dan sebagainya.

            Melalui persentil seorang peneliti dapat dengan leluasa membagi distribusi data yang dimilikinya kedalam jumlah-jumlah kategori yang dikehendakinya. Misalnya jika penelitian ingin membagi distribusi data tentang skor-skor stress kerja (yang masih berupa data interval) menjadi 5 kategori data ordinal (misalnya tinggi sekali, tinggi, sedang, rendah dan rendah sekali) maka peneliti harus menemukan 4 titik persentil dengan jalan melakukan pembagian, 100/5 = 20. Angka 20 ini nanti akan berfungsi sebagai kelipatan yang digunakan untuk menentukan dasar pembuatan kategori. Maka 5 kategori yang digunakan tersebut akan dibatasi oleh titik-titik P₂₀, P₄₀, P₆₀, dan P₈₀. Untuk pembagian ke dalam jumlah-jumlah kategori yang lain dapat dikembangkan oleh para pembaca sendiri. Misalnya kita akan menghitung persentil 60, maka rumusnya adalah:

Tabel 3.18 adalah contoh untuk mencari persentil 60

Interval Nilai	f	fk
28 – 32 23 – 27 18 – 22 13 – 17 8 – 12 3 – 7	5 2 (4) 3 6 3	23 18 16 12 9 3
Jumlah	23	-

Diketahui,  =  13,8 (terletak pada fk = 16 interval 18 – 22)

 17     12        4       i  = 5

Maka data tersebut didapatkan harga P₆₀ sebesar:

            Dari hasil tersebut dapat diketahui bahwa P₆₀ = 19,75, artinya bahwa yang membatasi antara 60% distribusi bagian bahwa dengan 40% distribusi bagian atas adalah nilai 19,75. Dalam penelitian persentil berguna untuk:

• Membagi distribusi menjadi beberapa kelas yang sama besar frekuensinya.
• Memisahkan sebagaian distribusi dari sisanya.
• Menyusun norma penelitian, dan menormalisasikan distribusi.

Evaluasi

1. Berikan penjelasan secara singkat apa yang dimaksud dengan:
   1. Rata-rata hitung, median, dan modus.
   2. Kuartil, desil dan persentil
   3. Uraikan kelebihan dan kekurangan dari rata-rata hitung, median dan modus! Mengapa rata-rata hitung paling banyak digunakan dalam praktek analisis data dalam penelitian!
   4. Nilai mahasiswa untuk mata kuliah Fisika ditentukan oleh komponen hasil tes paada praktikum di laboratorium, kuliah, dan keaktifan mahasiswa di kelas. Jika seorang mahasiswa memperoleh nilai praktikum sama dengan 75, kuliah sama dengan 65, dan keaktifan di kelas saam dengan 75; sedangkan bobot untuk ketiganya masing-masing adalah 2,4, dan 5. Tentukanlah nilai akhir mahasiswa tersebut dengan menggunakan rata-rata hitung!
   5. Nilai ujian program linier dari 10 mahasiswa, masing-masing sebagai berikut: 40,70,60,75,65,80,90,45,50,95. Berapa besarnya median dari nilai ujian program linier tersebut!
   6. Misalnya X adalah upah bulanan karyawan sebuah perusahaan yang dibulatkan menjadi ribuan rupiah. Ada 40 orang karyawan yang sedang diselidiki dan besarnya upah bulanan dalam ribuan rupiah adalah:

146     147     147     148     149     150     150     152     153     154

156     157     158     161     163     164     165     168     173     176

119     125     126     128     132     135     135     135     136     138

138     140     140     142     142     144     144     145     145     146

1. Berapa besarnya nilai median upah karyawan tersebut!
2. Kalau data dikelompokkan, kelas-kelas disajikan dalam distribusi frekuensi, hitunglah mediannya!
3. Dengan menggunakan data yang telah dikelompokkan, hitunglah nilai median dan modus dari data berikut:

Kelas	Frekuensi
30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99	5 6 8 12 9 7 4
Jumlah	50

1. Berikut ini adalah data nilai ujian teknologi informasi mahasiswa STMIK Raharja, yaitu : 40,30,50,65,45,55,70,60,80,35,85,95,100, (n=13). Hitunglah nilai Q₁, Q₂, Q₃, D₁, D₂, D₃!
2. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 10 mahasiswa terpandai di kelas B adalah 80. Setelah ditambah nilai dari 2 mahasiswa terpandai dari kelas A maka nilai rata-ratanya menjadi 83. Tentukan nilai rata-rata 2 mahasiswa dari kelas tersebut!

1. Berdasarkan data berikut, hitunglah Q₁, Q₃, D_3, D₆, dan P₅₀!

Nilai Kelas	Frekuensi
72,2 – 72,4 72,5 – 72,7 72,8 – 73,0 73,1 – 73,3 73,4 – 73,6 73,7 – 73,9 74,0 – 74,2 74,3 – 74,5	2 5 10 13 27 23 16 4
Jumlah	100

10. Nilai ujian kalkulus dari 120 mahasiswa STMIK Raharja, adalah:

Nilai Ujian
30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 100	9 32 43 21 11 3 1

1. Hitung kuartil pertama dan ketiga!
2. Hitung desil pertama, kelima, dan ketujuh!
3. Hitung persentil pertama, kedua puluh lima, kelima puluh, dan ketujuh puluh lima!

Read More

KUARTIL, DESIL DAN PERSENTIL

Kuartil    = Jumlah 3 yakni (K1,K2,K3) memiliki sifat membagi data menjadi 4 bagian

Desil       = Jumlah 9 yakni (D1,s/d,D9) memiliki sifat membagi data menjadi 10 bagian

Persentil = Jumlah 99 yakni  (P1,s/d,P99) memiliki sifat membagi data menjadi 100 bagian

Untuk menetukan nilai kurtil, desil maupun persentil,maka langkah mengerjakannya sama dengan cara ketika kita menetapkan nilai median, begitupun dengan rumusnya. Adapaun perbedaanya hanya pada nilai yang dikalikan dengan N. jika pada median  digunakan1/2 N maka pada kuartil 1 nilai ½ N yang ada pada rumus diubah menjadi 1/4N dan pada kuartil ke 2 menjadi 2/4N sedangkan pada kuartil ke 3 menjadi3/4N. Adapaun untuk menetapkan nilai Desil  1 menjadi 1/10N, dan desil 7 menjadi 7/10N. Untuk menetapkan persenti 5 menjadi 5/100N  dan desil  60 menjadi 60/100N

Contoh Menetapkan nilai kuartil ke 1:

                                                 Tabel……

                            Nilai IPS Siswa …………

 

 

Contoh menentukan nilai Desil ke 8:

                                        Tabel……

                     Nilai IPS Siswa …………

 

Keterangan:

          D1=  Desil kedelapan

               l Nilai lower limit/batas bawah nyata   (75+80)/2

             N  =  Jumlah data

           Fkb =  Jumlah Nilai frekwensi  data yang berada dibawah garis

           Fi    =  Nilai frekwensi data yang mengandung  desil kedelapan

Contoh menentukan nilai Persentil ke 40:

                                    Tabel……

                      Nilai IPS Siswa …………

 

Read More

UKURAN PENYEBARAN DATA

Ukuran Penyebaran Data

Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata-rata hitungnya. Mengapa kita mempelajari ukuran penyebaran tersebut? Karena kita merasa bahwa mengetahui nilai tengah saja kurang cukup, tanpa disertai dengan pengetahuan tentang seberapa besar data tersebut menyebar disekitar nilai tengahnya. Dengan memahami unsur penyebaran data diharapkan kita tidak menarik kesimpulan yang salah.

Penyebaran adalah perserakan data individual terhadap nilai rata-rata. Penyebaran disebut juga dispersi. Data homogen memiliki penyebaran yang kecil, sedangkan data yang heterogen memiliki penyebaran yang besar.

Kegunaan Ukuran Penyebaran:

-Untuk menentukan apakah suatu nilai rata-rata dapat mewakili suatu rangkaian data / tidak

-Untuk perbandingan terhadap variabilitas data, misalnya data curah hujan, suhu udara, dsb.

-Membantu penggunaan ukuran statistik, misalnya dalam membandingkan ukuran

  penyebaran sampel terhadap populasi.

Macam-macam ukuran penyebaran:

1.      Kuartil

Jika median dapat dikatakan sebagai ukuran perduaan maka kuartil dapat dikatakan sebagai ukuran perempatan. Jika ada sekelompok data tidak perlu semuanya berbeda diurutkan dari besar ke kecil atau sebaliknya dari kecil ke besar, kemudian dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar. Batas antar  yang pertama dengan  yang ketiga disebut kuartil pertama (K₁ ), batas antara  yang kedua dengan  yang kedua disebut kuartil kedua (K₂ ) dan batas antara ¼ yang ketiga dan  bagian yang terakhir disebut kuartil ketiga (K₃ ).

                                                          n₁     n₂      n₃      n₄

-----•-----•-----•-----

                                                                     K₁        K₂      K₃

Jika banyak data ≥ 3, maka banyak data yang terletak di bawah K₁=n₁. Banyak data yang terletak di antara K₁ dan K₂ = n₂, banyak data yang terletak di antara K₂ dan K₃ = n₃ dan banyak data yang terletak diatas K₃=n₄, dimana n₁=n₂=n₃=n₄.

Untuk data tunggal, mencari letak kuartil dapat dicari dengan rumus :

K_i=  (n+1)

Ket       :           i  = urutan kuartil (1,2,3)

                 n = banyak data

Contoh

Tentukan kuartil 1, kuartil 2 dan kuartil 3 dari data berikut ini !
3,4,2,6,4,8,6, 10 dan 9

jawab :

urutkan dahulu data dari terkecil sampai data yang terbesar 2,3,4,4,6,6,8,9,10

jumlah data (n) = 9

Letak K₁                      = (9+1)

                                                = 2,5

K­₁                                         = data ke 2 +  (nilai data ke 3-nilai data ke 2)

                        = 3 + (4-3)

                        = 3,5

Letak K₂                      = (9+1)

­                        = 5

K₂                             = data ke 5

                        = 6

Letak K₃                      = (9+1)

                                                = 7,5

K₃                             = data ke 7 +  (data ke 8 - data ke 7)

                        = 8 +  (9-8)

                        = 8,5

                                                               2 3 4 4 ⑥ 6 8 9 10

                                                       ↓       ↓       ↓

                                                       K₁       K₂      K₃

Jadi, K₁ terletak di antara data ke-2 dan ke-3, yaitu data ke2,5. K₂ terletak pada data ke 5 dan K₃ terletak di antara data ke-7 dan ke-8 yaitu data ke 7,5.

Untuk data kelompok, mencari letak kuartil dapat menggunakan rumus :

K_i= Bb + p []

Ket      :          

i           = urutan kuartil (1,2,3)

Bb       = batas bawah kelas interval yang mengandung K_i

p          = panjang kelas

n          = banyak data

Fk        = frekuensi kumulatif sebelum K_i

fK_i         = frekuensi kelas interval yang mengandung K_i

contoh

Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut ini !

kelas interval	frekuensi
21-23	5
24-26	12
27-29	13
30-32	6

Tentukanlah K₂ dari tabel tersebut !

Jawab :

Mencari kelas K₂,

 dari n adalah  x 36 = 18. Jadi, K₂ terletak pada data ke 18.

kelas interval	frekuensi	Frekuensi kumulatif
21-23	5	5
24-26	12	17
27-29	13	30 → kelas K2
30-32	6	36
	n=36

Dari tabel di atas, didapat       Bb       = 27-0,5

                                                            = 26,5

p          = 3

n          = 36

Fk        = 17

fK₂      = 13

Maka,

K₂= Bb + p []

K₂= 26,5 + 3 []

     = 26,5 + 2 [0,08]

     = 26,5 + 0.16

     = 26,66

catatan :

Kuartil 2 sama dengan median. Karena sama-sama membagi data menjadi 2 bagian yang sama besar.

2.      Desil

Sebenarnya, desil sama halnya seperti kuartil. Jika kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama besar, maka desil membagi data menjadi sepuluh bagian sama besar. Jadi, desil juga dapat dikatakan persepuluhan.

                                   n₁    n₂     n₃    n₄     n₅    n₆     n₇    n_­8      n₉     n₁₀

-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----

                                      D₁      D₂    D₃   D₄     D₅    D₆   D₇    D₈     D₉

Untuk data tunggal,mencari desil dapat menggunakan rumus :

D_i =  (n+1)

Ket      :           i  = urutan desil (1,2,3,…,9)

n = banyak data

contoh

Tentukan letak dan besar D₈ dari data berikut ini !

1,2,3,5,7,9,9,10,12,13,15,20,21,22,24

Jawab :

n = 15

Letak D₈             =  (15+1)

                 = 12,8

D₈                      = data ke 12 + 0,8 (data ke 13 – data ke 12)

                       = 20 + 0,8 (21-20)

                       = 20,8

Untuk data berkelompok, dapat menggunakan rumus :

D_i= Bb + p []

Ket :

i           = urutan desil (1,2,3,…,9)

Bb       = batas bawah kelas interval yang mengandung D_i

p          = panjang kelas

n          = banyak data

Fk        = frekuensi kumulatif sebelum D_i

fD_i         = frekuensi kelas interval yang mengandung D_i

contoh

Tentukan D₅ dari tabel distribusi frekuensi berikut ini !

kelas interval	frekuensi
11-15	3
16-20	6
21-25	7
26-30	20
31-35	9
36-40	5

Jawab :

  dari n adalah  x 50 = 25. Jadi, D₅ terletak pada data ke 25.

kelas interval	frekuensi	frekuensi kumulatif
11-15	3	3
16-20	6	9
21-25	7	16
26-30	20	36 → kelas D5
31-35	9	45
36-40	5	50
	n = 50

Dari tabel di atas, didapat       Bb       = 26-0,5

                                                            = 25,5

p          = 5

n          = 50

Fk        = 16

fK_i       = 20

Maka,

D₅= Bb + p []

D₅= 25,5 + 5 []

     = 25,5 + 5 [0,7]

     = 25,5 + 3,5

     = 29

3.      Persentil

Persentil adalah ukuran alokasi yang paling halus karena pembagiannya 1 sampai dengan 99. Persentil membagi data menjadi seratus bagian, maka dapat dikatakan persentil adalah perseratusan.

                                      n₁       n₂    n₃       n₄        n₅      n₆       n₇    …    n_­100        

-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----•-----

                                          P₁       P₂    P₃       P₄      P₅     P₆      …    P₉₉

Untuk data tunggal, mencari persentil dapat menggunakan rumus :

P_i =  (n+1)

 Ket     :           i  = urutan persentil (1,2,3,…,99)

n = banyak data

contoh

Tentukan P₈₇ dari jumlah data sebanyak 125 !

Jawab :

Letak P₈₇         =  (125+1)

= 109,62

P_87­                   = data 109 + 0,62(data ke 110 - data ke 109)

Untuk data berkelompok, dapat menggunakan rumus :

P_i= Bb + p []

Ket :

i           = urutan persentil (1,2,3,…,99)

Bb       = batas bawah kelas interval yang mengandung P_i

p          = panjang kelas

n          = banyak data

Fk        = frekuensi kumulatif sebelum P_i

fP_i          = frekuensi kelas interval yang mengandung P_i

contoh

Tentukan P₅₆ dari data pada tabel distribusi frekuensi berikut !

kelas interval	frekuensi
1-10	12
11-20	57
21-30	67
31-40	70
41-50	16
51-60	15
61-70	3

Jawab :

  dari n adalah  x 240 = 134,4. Jadi, P₅₆ terletak sekitar data ke 134.

kelas interval	frekuensi	Frekuensi kumulatif
1-10	12	12
11-20	57	69 → kelas P56
21-30	67	136
31-40	70	206
41-50	16	222
51-60	15	237
61-70	3	240
	n = 240

Dari tabel di atas, didapat       Bb       = 11-0,5

                                                            = 10,5

p          = 10

n          = 240

Fk        = 12

fP_i        = 69

Maka,

P₅₆= Bb + p []

P₅₆= 10,5 + 10 []

     = 10,5 + 10 [1,8]

     = 10,5 + 18

     = 28,5

4.      Range

Range disebut juga rentang / jangkauan. Range adalah jarak antara data terbesar dengan data terkecil. Range dilambangkan dengan R.

Untuk data tunggal, cara mencari R adalah

R = nilai data maksimum – nilai data minimum

contoh

Perhatikan data berikut

33, 23, 12, 4, 7, 45, 15, 30, 3

Tentukan Range dari data tersebut !

Jawab :

Urutkan data dari yang terkecil menjadi terbesar

3, 4, 7, 12, 15, 23, 30, 33, 45

data maksimum           = 45

data minimum             = 3

R = 45 – 3

    = 42

Untuk data yang dikelompokkan, cara mencari R adalah

R = titik tengah kelas tertinggi – titik tengah kelas terendah

Contoh

Tentukan Range dari tabel distribusi frekuensi berikut ini !

kelas interval	Frekuensi
1-4	7
5-8	13
9-12	21
13-16	9

Jawab :

kelas interval	Frekuensi	Titik tengah
1-4	7	2,5
5-8	13	6,5
9-12	21	10,5
13-16	9	14,5

R = 14,5 – 2,5

    = 12

5.      Rentang antar Kuartil (RAK) dan Rentang Semi Kuartil (RSK)

Rentang antar kuartil adalah jarak antara kuartil ke-3 (K₃) dengan kuartil pertama (K₁).

RAK = K₃ – K₁

Sedangkan rentang semi kuartil (RSK) atau bisa juga disebut simpangan kuartil adalah setengah dari rentang antar kuartil (RAK).

RSK =  (RAK)

         =  (K₃ – K₁)

Semua rumus ini berlaku untuk data tunggal dan kelompok.

contoh

Tentukan RAK dan RSK dari data berikut ini !
3,4,2,6,4,8,6, 10 dan 9

jawab :

urutkan dahulu data dari terkecil sampai data yang terbesar 2,3,4,4,6,6,8,9,10

jumlah data (n) = 9

Letak K₁                      = (9+1)

                                                = 2,5

K­₁                                         = data ke 2 +  (nilai data ke 3 - nilai data ke 2)

                        = 3 + (4-3)

                        = 3,5

Letak K₂                      = (9+1)

­                        = 5

K₂                     = data ke 5

                        = 6

Letak K₃                      = (9+1)

                                                = 7,5

K₃                     = data ke 7 +  (data ke 8 - data ke 7)

                        = 8 +  (9-8)

                        = 8,5

RAK      = K₃ – K₁

            = 8,5 – 3,5

            = 5

RSK      =  (RAK)

            =  (5)

            = 2,5

6.      Rata-rata Simpangan

Rata-rata simpangan adalah jarak antara tiap data dengan rata-ratanya. Rata-rata simpangan sering disimbolkan dengan RS.  Jadi, dapat dituliskan rumusnya menjadi :

RS =

ket

X_i           :           nilai tengah dari interval

          :           nilai rata-rata

Contoh

1.      Tentukan rata-rata simpangan dari data berikut 2,3,4,4,6,6,8,9,10 !

Jawab :

banyak data = 9, jadi ∑f = 9

 =

   =

   = 5,8

Kemudian, cari ⃒ x_i -  ⃒ untuk setiap data

⃒2-5,8⃒ = 3,8

⃒3-5,8⃒ = 2,8

⃒4-5,8⃒ = 1,8

⃒4-5,8⃒ = 1,8

⃒6-5,8⃒ = 1,8

⃒6-5,8⃒ = 1,8

⃒8-5,8⃒ = 3,8

⃒9-5,8⃒ = 4,8

⃒10-5,8⃒ = 5,8

Ʃ ⃒ x_i -  ⃒ = 3,8 + 2,8 + 1,8 + 1,8 + 1,8 + 1,8 + 3,8 + 4,8 + 5,8

Ʃ ⃒ x_i -  ⃒ = 28,2

RS =

      =

      = 3,13

          

2.      Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut ini

kelas interval	Frekuensi
1-4	7
5-8	13
9-12	21
13-16	9

Tentukan rata-rata simpangan dari tabel diatas !

Jawab :

kelas interval	frekuensi (f)	titik tengah (xi)	fxi
1-4	7	2,5	17,5
5-8	13	6,5	84,5
9-12	21	10,5	220,5
13-16	9	14,5	130,5
	Ʃf = 40		Ʃfxi = 453

Pertama, kita akan mencari rata-ratanya terlebih dahulu

 =  

   =

   = 11,3

Lalu, kita cari ⃒ x_i -  ⃒

kelas interval	frekuensi (f)	titik tengah (xi)	⃒ xi -  ⃒
1-4	7	2,5	8,8
5-8	13	6,5	4,8
9-12	21	10,5	0,8
13-16	9	14,5	3,2
	Ʃf = 40		Ʃ ⃒ xi -  ⃒= 17,6

Maka,

RS =

      =

      = 0,44

Catatan :

Rata-rata simpang mempunyai kelemahan yaitu, tidak dapat membedakan antara rentang yang lebih besar dengan rentang yang lebih kecil.

7.      Simpangan Baku

Simpangan baku disebut juga deviasi standar. Simpangan baku dari suatu rangkaian data adalah akar pangkat dua dari rata-rata kuadrat selisih nilai data individual terhadap mean rangkaian data itu. Varians adalah rata-rata hitung simpangan kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya.

 Terdapat dua jenis rumus yang umum digunakan untuk simpangan baku, yaitu:

a.       Simpangan baku untuk Populasi (̠̠σ)

σ =

ket :     s = standar deviasi populasi

x = nilai pengamatan

m = mean populasi

N = jumlah pengamatan dalam populasi

b.      Simpangan baku untuk Sampel (s)

s =  

ket :     s = standar deviasi sampel

x_i = nilai pengamatan

 = mean sampel

n = jumlah pengamatan dalam sampel

untuk data tunggal

s =

ket :

s           = simpangan baku

x_i            = nilai setiap data

          = rata-rata

n          = jumlah data

untuk data berkelompok

s =

ket :

s           = simpangan baku

f           = frekuensi pada setiap kelas interval

x_i            = nilai setiap data

          = rata-rata

n          = jumlah data

Oleh karena itu, kita harus memilih rumus yang sesuai dengan jenis data yang ada, yaitu data populasi atau data sampel. Jika data kita adalah data populasi gunakan rumus simpangan baku untuk populasi, dan jika data kita adalah data sampel, maka gunakan rumus simpangan baku untuk sampel.

Makna dan Kegunaan Simpangan Baku

Standar deviasi digunakan untuk membandingkan penyebaran atau penyimpangan dua kelompok data atau lebih. Apabila standar deviasinya kecil, maka hal tersebut menunjukkan nilai sampel dan populasi berkumpul atau mengelompok di sekitar nilai rata-rata hitungnya. Artinya karena nilainya hampir sama dengan nilai rata-rata, maka disimpulkan bahwa anggota sampel atau populasi mempunyai kesamaan. Sebaliknya, apabila nilai deviasinya besar, maka penyebarannya dari nilai tengah juga besar. Hal tersebut menunjukkan adanya nilai-nilai ekstrem baik yang tinggi maupun rendah. Standar deviasi yang besar juga menunjukkan adanya perbedaan jauh diantara anggota populasi. Oleh sebab itu, satandar deviasi yang tinggi biasanya dipandang kurang baik bila dibandingkan dengan standar deviasi rendah.

Contoh :

1.      Tentukan simpangan baku dari data berikut 2,3,4,4,6,6,8,9,10 !

Jawab :

Pertama-tama, kita menghitung jumlah datanya, yaitu n = 9

Lalu, tentukan rata-ratanya

 =

   =

   = 5,8

Kemudian, kita tentukan masing-masing (x_i-)²

(2-5,8)²          = (-3,8)²         = 14,44

(3-5,8)²          = (-2,8)²         = 7,84

(4-5,8)²          = (-1,8)²                 = 3,24

(4-5,8)²          = (-1,8)²         = 3,24

(6-5,8)²          = (1,8)²          = 3,24

(6-5, 8)²                   = (1,8)²          = 3,24

(8-5,8)²          = (3,8)²          = 14,44

(9-5,8)²          = (4,8)²          = 23,04

(10-5,8)²        = (5,8)²          = 33,64

Ʃ ( x_i -  )² =  2(14,44) + 7,84 + 4(3,24) + 23,04 + 33,64

Ʃ ( x_i -  )² = 106,36

Jadi,

s =  

s =

s = 3, 65

2.      Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut ini

kelas interval	Frekuensi
1-4	7
5-8	13
9-12	21
13-16	9

Tentukan simpangan baku dari tabel diatas !

Jawab :

Yang kita butuhkan pertama adalah ∑f, lalu kita cari rata-ratanya.

kelas interval	frekuensi (f)	titik tengah (xi)	fxi
1-4	7	2,5	17,5
5-8	13	6,5	84,5
9-12	21	10,5	220,5
13-16	9	14,5	130,5
	n = 40		Ʃfxi = 453

 =  

   =

   = 11,3

Kemudian kita tentukan masing-masing (x_i-)²  

kelas interval	frekuensi (f)	titik tengah (xi)	( xi -  )	( xi -  )2	f( xi -  )2
1-4	7	2,5	-8,8	77,44	542,08
5-8	13	6,5	-4,8	23,04	299,52
9-12	21	10,5	-0,8	0,64	13,44
13-16	9	14,5	3,2	10,24	92,16
	Ʃf = 40				∑f( xi - )2= 947,2

Jadi,

s =

s =

s = 4,93

Selain cara diatas, ada cara lain yang lebih mudah, yaitu dengan cara coding

s = p

ket :

p          = panjang kelas

f_i          = frekuensi tiap kelas

d          = kode

n          = banyak data

Daftar Pustaka:

http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0405%20Mat%202-3f.htm

http://www.elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/statistik_industri1/bab4-ukuran_simpangan.pdf

Read More