DISTRIBUSI POISSON (2)

SEJARAH DISTRIBUSI POISSON.

• Riwayat

Distribusi Poisson dikembangkan oleh Simon Poisson pada tahun 1837. Poisson bukanlah berasal dari keluarga bangsawan, meskipun sulit memilah perbedaan antara bangsawan dengan kaum Borjuis di Perancis setelah terjadi revolusi, walaupun system kelas atau kasta ini masih tetap berlaku di Perancis. Ayah Poisson adalah seorang prajurit. Posisi prajurit selalu dapat deskriminasi sebelum akhirnya mengundurkan diri dan beralih profesi dengan mengerjakan tugas-tugas administrative. Kakak perempuan dan kakak laki-laki Poisson sudah meninggal karena sakit, sehingga kelahiran Poisson menjadi berkah tersendiri bagi keluarga ini.

• Mengenal Matematika

Ketika Poisson berusia 8 tahun, terjadi pemberontakan penduduk Paris pada tanggal 14 Juli 1789 yang dianggap memicu terjadi revolusi Prancis. Semua yang merasa menderita oleh kaum bangsawan memberontak, termasuk ayah Poisson. Ayahnya memutuskan agar Poisson menjadi ahli bedah, karena pamannya adalah seorang ahli bedah ternama di Fountainbleau. Nyatanya Poisson tidak cocok menjadi asisten ahli bedah karena kurang mempunyai koordinasi dalam gerakan tangan dan tidak mempunyai minat dengan profesi di bidang medical.

• Masuk Ecole Polytecnique.

Tahun 1796, Poisson menuntut ilmu di Ecole Centrale. Kurangnya koordinasi tangan, namun mempunyai minat belajar yang besar pada bidang matematika. Prestasi akademik dengan cepat dapat diraih oleh Poisson, Sukses akademis dapat diraih dengan antusiasme tinggi dan kerja keras. Menggunakan waktu luangnya untuk menikmati opera atau aktivitas sosial. Kelemahan, koordinasi tangan, hilang apabila dia mulai menggambar diagram-diagram matematikal. Laplace dan Lagrange adalah dua dosen yang dengan segera mengenali bakat matematika Poisson.

Makalah yang ditulis oleh Poisson yang saat itu masih berumur 18 tahun menarik perhatian Legendre. Poisson berkutat dengan geometri deskriptif yang menjadi topik utama di Ecole, namun harus “mengalah” kepada Monge, karena dia tidak dapat menggambar diagram. Pada tahun akhir Poisson menulis makalah tentang teori-teori persamaan dan theorema Bezout, yang membuatnya lulus tanpa perlu menjalani ujian akhir. Prestasi ini membuat Poisson diangkat menjadi asisten di Ecole dengan rekomendasi dari Laplace.

• Bentrok dengan Fourier

Karir Poisson terus melejit seiring dengan banyaknya tanggung jawab yang ada dipundaknya. Tahun 1815, diangkat sebagai penguji di Ecole Militaire dan tahun berikutnya menjadi penguji ujian akhir di Ecole Polytechnique. Tetap melakukan penelitian dan mengajar sehingga perannya makin mencorong dalam organisasi matematikawan Perancis. Penelitiannya mencakup banyak bidang termasuk matematika terapan. Meskipun Poisson tidak dapat menemukan teori baru, namun peran sebenarnya adalah mengembangkan teori-teori orang lain dan menunjukkan kegunaan teori tersebut.

Tahun 1813, Poisson mempelajari potensi daya-tarik dalam molekul, hasilnya akhirnya adalah aplikasi elektrostatis. Disusul dengan penelitian dalam bidang elektrik dan magnetik. Membuat makalah tentang kecepatan suara dalam medium gas, media penghantar panas, getaran-getaran elastik. Buku tentang panas yang diterbitkan Poisson membuat Fourier berang, dan menuduh Poisson seorang plagiator. Alasan yang dikemukan Poisson dimaklumi Fourier pada tahun 1820, sebelum pada tahun 1823 menerbitkan artikel tentang panas, yang hasilnya memberi pengaruh kepada Sadi Carnot. Banyak karya-karya Poisson dipengaruhi atau merupakan pengembangan karya Laplace.

• Teori Probabilitas

Lewat buku Recherches sur la probabilite des jugements en matiere criminelle et matiere civile, yang terbit pada tahun 1837, Poisson membahas teori probabilitas, dan istilah distribusi Poisson muncul. Distribusi Poisson mengambarkan probabilitas terhadap persitiwa acak (random) yang akan terjadi pada jeda (interval) waktu atau ruang dengan kondisi probabilitas sangat kecil, meskipun jumlah percobaan yang dilakukan besar tetapi hasilnya tidak berarti. Ide-ide Poisson yang beragam membuat namanya diabadikan dalam istilah, sebagai contoh: integral Poisson, [tanda] kurung Poisson dalam integral, nisbah (ratio) Poisson dalam elastisitas, dan konstanta Poisson dalam elektrik.

Meskipun selama hidup, namanya relatif kurang kurang dikenal sebagai matematikawan Perancis, namun reputasinya sebagai matematikawan terkemuka diakui oleh para matematikawan mancanegara. Rupanya ide-ide Poisson menular kepada mereka. Poisson sendiri mendarmabaktikan diri sepenuhnya untuk matematika, seperti yang ditulis oleh Arago, “Kehidupan ini indah hanya dalam dua hal: mempelajari matematika dan mengajarkannya.”

DEFINISI DISTRIBUSI POISSON

Distribusi poisson adalah Percobaan-percobaan yang menghasilkan nilai-nilai numeric suatu variable acak X,jumlah keluaran yang terjadi selama suatu selang waktu yang diketahui atau didalam suatu  daerah(ruang) yang ditentukan disebut sebagai percobaan Poisson.

CIRI – CIRI DISTRIBUSI POISSON

•Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan diselang waktu dan tempat yang lain yang terpisah.

•Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi.Hal ini berlakuhanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit.

•Peluang lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu yang singkat dan luasan tempat yang sama diabaikan.

SIFAT DISTRIBUSI POISSON

 Jumlah keluaran yang terjadi didalam satu selang waktu/daerah yang ditentukan tidak tergantung dari jumlah yang terjadi didalam setiap selang waktu/daerah ruang yang tak berhubungan lainnya. Dapat disimpulkan bahwa proses Poisson tidak memiliki memori

Probabilitas sebuah keluaran tunggal akan terjadi selama suatu selang waktu yang singkat atau dalam suatu daerah kecil sebanding dengan lama waktu/ukuran daerah itu dan tidak bergantung pada jumlah keluaran yang terjadi diluar selang waktu atau daerah ini

Probabilitas bahwa lebih dari satu keluaran akan terjadi didalam suatu selang waktu yang singkat atau jatuh pada suatu daerah yang kecil semacam itu dapat diabaikan

PROSES DARI DISTRIBUSI POISSON

 •Percobaan Bernoulli menghasilkan variable random X yang bernilai numerik, yaitu jumlah sukses yang terjadi.

•Jika pengamatan dilakukan pada suatu rentang interval waktu, maka dapat diamati bahwa variable random X adalah terjadinya sukses selama waktu tertentu

.•Jika perhatian ditujukan pada kejadian sukses yang muncul(lahir) pada suatu rentang yang kecil, maka terjadi sebuah proses kelahiran(birthatauarrivalprocess) atau dikenal sebagai proses Poisson

RUMUS DISTRIBUSI POISSON

 Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05.

Rumus pendekatannya adalah :

P ( x ; μ ) = e – μ . μ X

X ! Dimana : e = 2.71828

μ = rata – ratakeberhasilan = n . p

x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel

n = Jumlah / ukuran populasi

p = probabilitas kelas sukses

CONTOH SOAL

Contoh 1.1

1.Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.

Jawab :

Dik : n = 200, P = 0.01, X = 3, μ = n . p = 200 . 0.01 = 2

                                    P ( x ; μ ) = e – μ . μ X

            X!

                                    = 2.71828 – 2 . 2 3 = 0.1804 atau 18.04 %

            3!

Contoh studi kasus.

Jika rata – rata kedatangan λ = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x = 4 kedatangan dan t = 3 menit. Gunakan proses poisson!

Jawaban:

Dik : λ = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam maka 1 jam atau 60 menit adalah unit waktunya. Berarti 3 menit adalah 3 / 60 = 1 / 20 unit waktu maka t t = 1 / 20 dan x = 4

P ( x ) = e –λ . t . ( λ . t ) x

X!

P ( x ) = e –72 . ( 1/ 20 ) . ( 72 . 1 / 20 ) 4

4!

= 0.191 atau 19.1 %

Contoh 1.2

Sebuah pabrik ban menyatakan dari 5000 ban yang dikirim ke distributor sebanyak 1000 warnanya sedikit pudar. Seorang pelanggan membeli 10 ban dari distributor secara acak saja. Berapa probabilitasnya bahwa ada 3 buah ban yg warnanya sedikit pudar?

Jawab: Populasinya N=5000, ukuran sampelnya n=10 (n/N < 5%), jadi bisa dipakai distribusi binomial saja, dengan probabilitas warna sedikit pudar p=k/N = 1000/5000 = 0.2, dan tidak pudar q=1-p=0.8. Jumlah sampel n=10, banyak yg pudar x=3, berarti probabilitasnya :

                        P(x=3;n=10,p=0.2)= B(r≤3;n=10,p=0.2)-B(r≤2;n=10,p=0.2)

                        = 0.8791 -0.6778 = 0.2013 = 20%

Periksalah, jika dipergunkan distribusi hipergeometrik hasilnya=0.2015

Contoh 1.3

Kita akan membuat model untuk proses kedatangan panggilan pada sebuah sentral telepon. Untuk membuat perbandingan dengan 2 metoda terdahulu, kita akan mengajukan pertanyaan yang sama: Berapa besar peluangnya 5 kedatangan atau kurang dalam waktu 20 detik, dimana rata-rata ada satu kedatangan tiap 2 detik.

Solusi

Jumlah kedatangan dalam interval waktu adalah merupakan variable diskrit stochastic yg terdistribusi secara poisson. Parameter untuk distribusi poisson dalam contoh ini adalah α = 10, maka peluang 5 kedatangan atau kurang adalah:

           

     Pr { X ≤ 5} = P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5

                        =  e-10 + e-10 10 + e-10 (102/2!) + e-10 (103/3!) + e-10 (104/4!) + e-10 (105/5!)

                        = 0.000045 + 0.000454 + 0.002270 + 0.007567 + 0.01917 + 0.03733

            = 0.067

Contoh 1.4

Apabila probabilitas bahwa seorang akan mati terkena penyakit TBC adalah 0,001. dari 2000 orang penderita penyakit tersebut berapa probabilitasnya:

a. Tiga orang akan mati

b. Yang mati tidak lebih dari 1 orang

c. Lebih dari dua orang mati

Menggunakan tabel untuk distribusi Poisson

Untuk membantu memperoleh dengan cepat nilai probabilitas distribusi Poisson, table hasil distribusi Poisson akan sangat membantu. Penggunaan tabel distribusi Poisson menghendaki pengetahuan nilai tengah rata-rata hitung (µ= n.p) dan jumlah sukses X. Pada baris dapat dilihat nilai µ dan pada kolom dapat dilihat nilai X. Pada contoh 1.1 nilai µ = 15, X = 5 dengan melihat tabel dapat diketahui nilai probabilitas distribusi Poisson adalah 0,002.

Tabel Distribusi Poisson

X µ

1 2 2,5 3 4 5 6 7 8 9 10 15

0 0,368 0,135 0,082 0,050 0,018 0,007 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000

0,000

1 0,368 0,000

2 0,184 0,000

3 0,061 0,000

4 0,015 0,001

5 0,003 0,002

6 0,001 0,005

7 0,000 0,010

8 0,000 0,019

9 0,000 0,032

10 0,000 0,049

Menggunakan MS Excel Untuk Distribusi Poisson:

1 Klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function

2 Pilih menu statistical pada function category

3 Pilih menu Poisson pada fungsi name, kemudian tekan OK.

4 Setelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dialog seperti berikut:

5. Nilai P(X) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=)

KESIMPULAN:

1. Distibusi Poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu.

2. Distribusi Poisson mengkalkulasi distribusi probabilitas dengan kemungkinan sukses p sangat kecil dan jumlah eksperimen n sangat besar.

3. Rumus Distribusi Poisson suatu peristiwa

Ket P(x) = Nilai probabilitas distribusi poisson

µ = Rata-rata hitung dan jumlah nilai sukses, dimana µ = n . p

e = Bilangan konstan = 2,71828

X = Jumlah nilai sukses

P = Probabilitas sukses suatu kejadian

Read More

MODUL DISTRIBUSI POISSON

1.             Pendahuluan

Distribusi Poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Distibusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial dalam situasi tertentu.

Rumus Poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Distribusi Poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.

Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial.

Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan rumus Binomial.

Rumus pendekatannya adalah:

P ( x ; μ ) = e ^{– μ} . μ ^X

X ! Dimana : e = 2.71828

μ = rata – ratakeberhasilan = n . p

x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel

n = Jumlah / ukuran populasi

p = probabilitas kelas sukses

Contoh soal:

1. Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.
2. Rata – rata seorang sekretaris baru melakukan lima kesalahan mengetik per halaman. Berapakah peluang bahwa pada halaman berikut ia :
   1. Tidak ada kesalahan ( x = 0 )
   2. Tidak lebih dari tiga kesalahan ( x ≤ 3) atau ( 0,1,2,3 )
   3. Lebih dari tiga kesalahan ( x > 3 ) atau ( 4,…,15)

Jawab:

1. Dik: n = 200, P = 0.01, X = 3, μ = n . p = 200 . 0.01 = 2

P ( x ; μ ) = e ^{– μ} . μ ^X

X!

= 2.71828 ^{– 2} . 2 ³ = 0.1804 atau 18.04 %

3!

2. Dik: μ = 5

a. x = 0 P ( x ; μ ) = e ^{– μ} . μ ^X

X!

P ( 0 ; 5 ) = 2.71828 ^{– 5} . 5 ⁰ = 0.0067

0!

b. x ≤ 3 ; P ( x ; μ ) = e ^{– μ} . μ ^X

X!

P (x ≤ 3 , 5) = P( x 1, μ ) +….+p(x3, μ)

= P( 0, 5 ) + P (1, 5 ) + P ( 2, 5 ) + P ( 3, 5 )

= 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404

= 0.2650 atau 26.5 %

c. X > 3 ; P ( x ; μ ) = e ^{– μ} . μ ^X

X!

P (X > 3 , 5) = P( X ₄, μ ) +….+p(X ₁₅, μ)

= P( 4, 5 ) + P (5, 5 ) + …… + P ( 15, 5 ) atau

P (X > 3 , 5) = 1 – [P ( X ≤ 3 , 5 ) ]

= 1 – [ P ( X ₀, μ ) +….+ p (X ₃, μ) ]

= 1 – [ P ( 0, 5 ) +….+p ( 3, 5 ) ]

= 1 – [ 0.2650 ]

= 73.5 %

 

Rumus Proses Poisson 

Distribusi Poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai ilustrasi, misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk pada suatu bank, dan kita tertarik oleh jumlah nasabah yang mungkin datang selama jam kerja tersebut, dengan ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kedatangan dalam interval waktu jika proses kedatangannya mempunyai karakteristik sebagai berikut:

1.      Tingkat kedatangan rata – rata setiap unit waktu adalah konstant.

Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan rata – rata untuk periode jam adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktu pada jam kerja tadi : yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata – rata yaitu 36 kedatangan setiap ½ jam atau 1.2 kedatangan setiap menit.

2.      Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada ( bebas apa yang terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat berarti bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan di menit berikutnya adalah sama.

3.      Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam interval pendek, semakin pendek interval, semakin mendekati nol adalah probabilitas yang lebih dari satu kedatangan. Dalam ilustrasi tadi, bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu nasabah yang dapat melawati jalan masuk dalam waktu satu detik.

Rumus proses poisson:

P ( x ) = e ^{–λ . t} . ( λ . t ) ^x

X! Dimana :λ = Tingkat rata – rata kedatangan tiap unit waktu

t = Jumlah unit waktu 

x = Jumlah kedatangan dalam t unit waktu

Contoh soal:

Jika rata – rata kedatangan λ = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x = 4 kedatangan dan t = 3 menit. Gunakan proses poisson.!

Jawab:

Dik: λ = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam maka 1 jam atau 60 menit adalah unit waktunya. Berarti 3 menit adalah 3 / 60 = 1 / 20 unit waktu maka t t = 1 / 20 dan x = 4

P ( x ) = e ^{–λ . t} . ( λ . t ) ^x

X!

P ( x ) = e ^{–72 . ( 1/ 20 )} . ( 72 . 1 / 20 ) ⁴

4!

= 0.191 atau 19.1 %

Read More

DISTRIBUSI POISSON (1)

Sekilas Tentang Distribusi Poisson

Distribusi poisson (dalam wikipedia) diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siméon-Denis Poisson (1781–1840), dilahirkan di Pithiers pada tanggal 21 Juni 1781. Poisson terkenal karena penerapan ilmu matematikanya dalam mekanika dan fisika. Usaha dan karya ilmiahnya ada di sekitar 300 sampai 400 buah. Tulisannya dalam Traité de mécanique, dipublikasikan dalam dua volume pada tahun 1811 dan 1833, yang manjadi standar kerja dalam mekanika dalam waktu yang lama. Salah satu teorinya yaitu Traité mathématique de la chaleur tahun 1835 ditambah sebuah suplemen pada tahun 1837, dan karyanya yang lain adalah Recherches sur la probabilitié des jugements (1837). Recherches sur la probabilitié des jugements merupakan sebuah karya penting dalam ilmu probabilitas yang dipublikasikan pada tahun 1837, di tahun ini juga distribusi poisson pertama kali muncul (http://wordpress/distribusi_poisson, 2010).

Distribusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam situasi tertentu (http://www.snapdrive.net, 2010).

Distribusi poisson dapat digunakan untuk menentukan probabilitas dari sejumlah sukses yang ditentukan. Kejadian-kejadian terjadi dalam ruang kontinyu. Proses poisson seperti proses Bernoulli, hanya berbeda pada sifat kontinuitasnya saja (Haryono, 1994). Distribusi poisson banyak digunakan dalam hal berikut:

1.   Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang, luas, atau panjang tertentu, seperti menentukan probabilitas dari:

a.   Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan.

b.   Banyaknya bakteri dalam 1 tetes atau 1 liter air.

c.   Banyaknya kesalahan ketik per halaman sebuah buku.

d.   Banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama minggu pertama pada bulan April.

2.   Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n≥ 30) dan p kecil (p < 0,1).

Percobaan poisson adalah percobaan yang menghasilkan peubah acak X yang bernilai numerik,yaitu banyaknya sukses selama selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu. Selang waktu tertentu dapat berupa sedetik, semenit, sejam, sehari, seminggu maupun sebulan. Daerah tertentu dapat berupa satu meter, satu kilometer persegi dan lain-lain. Distribusi peluang peubah acak poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu, diberikan oleh (http://kur2003.if.itb.ac.id, 2010):

Keterangan:

x  : 0,1,2, …

μ  : Rata-rata banyaknya sukses.

e  : Bilangan alam (2,71828).

Pengertian Distribusi Poisson

Distribusi peluang suatu peubah acak poisson X disebut distribusi poisson dan dinyatakan dengan p(x;μ), karena nilainya hanya tergantung pada μ, yaitu rata-rata banyaknya sukses yang terjadi pada selang waktu atau daerah tertentu. Rataan dan variansi distribusi poisson p(x; μ) keduanya sama dengan μ. Berikut ini adalah penjelasan mengenai populasi (n) dan peluang (p) pada distribusi poisson.

1.         Bila n besar dan p dekat dengan nol, distribusi poisson dapat digunakan,  dengan μ = np, untuk menghampiri peluang binomial.

2.        Bila p dekat dengan 1, distribusi poisson masih dapat dipakai untuk menghampiri peluang binomial dengan mempertukarkan apa yang telah dinamai dengan sukses dan gagal, jadi dengan mengganti p dengan suatu nilai yang dekat dengan nol (http://kur2003.if.itb.ac.id, 2010).

Sebaran poisson dan binom memiliki histrogram yang bentuknya hampir sama bila n besar dan p kecil (dekat dengan 0). Kedua kondisi itu dipenuhi sebaran poisson dengan  = np dapat digunakan untuk menghampiri peluang binom. P nilainya dekat dengan 1 dapat saling menukarkan apa yang telah didefinisikan sebagai keberhasilan dan kegagalan, dengan demikian mengubah p menjadi suatu nilai yang dekat dengan 0 (Walpole, 1995).

Sifat Percobaan Poisson

Suatu percobaan yang dilakukan sebanyak N kali, menghasilkan peubah acak X, misalkan banyaknya sukses selama selang waktu tertentu, dimana peluang yang sangat kecil (p mendekati 0), maka percobaan tersebut dinamakan poisson (http://elearning.gunadarma.ac.id, 2010). Beberapa sifat distribusi poisson adalah sebagai berikut (http://kur2003.if.itb.ac.id, 2010):

1.    Banyaknya sukses terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu tidak terpengaruh oleh apa yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang dipilih (bebas).

2.    Peluang terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam selang waktu yang amat pendek atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya daerah dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut.

3.    Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan.

Bilangan X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan poisson disebut peubah acak poisson dan sebaran peluangnya disebut sebaran poisson, karena nilai-nialai peluangnya hanya bergantung pada , yaitu rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah yang diberikan (Walpole, 1995).

Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

Pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas-probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa  n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebihdari 20 dan p adalah 0,05 atau kurang dari 0,05. Pendekatan ini rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan rumus binomial. Rumus pendekatannya adalah (http://www.snapdrive.net, 2010):

Keterangan:

e : Bilangan alam (2,71828).

x : Banyaknya unsur berhasil dalam sampel.

n : Jumlah data.

p : Probabilitas kelas sukses.

Peristiwa Kedatangan pada Distribusi Poisson

Suatu proses atau peristiwa kedatangan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu dapat digolongkan sebagai proses keatangan poisson jika memenuhi beberapa kriteria tertentu. Berikut ini adalah beberapa kriteria pada peristiwa kedatangan dalam distribusi poisson (http://ma-dasar.gunadarma.ac.id/wp-content, 2010)

1.      Tingkat kedatangan rata-rata setiap unit waktu adalah konstan.

2.      Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada apa yang terjadi di interval waktu yang sudah berlalu. Hal ini memiliki makna bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan di waktu berikutnya adalah sama.

3.      Probabilitas untuk peristiwa lebih dari satu kedatangan akan semakin mendekati nol jika interval semakin pendek. Misalnya, jumlah pengunjung suatu restoran tidak mungkin lebih dari satu orang yang dapat melalui pintu masuk dalam waktu satu detik. 

Proses perhitungan secara manual dapat digunakan untuk menentukan probabilitas suatu kedatangan yang berdistribusi poisson. Perobabilitas kedatangan yang sesuai dengan kriteria distribusi poisson dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

Keterangan:

λ :  Tingkat kedatangan rata-rata tiap unit waktu.

t  :  Jumlah unit waktu.

x :  Jumlah kedatangan dalam t unit waktu.

Materi PPT silahkan download disini

Read More