This is default featured slide 1 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.

This is default featured slide 2 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.

This is default featured slide 3 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.

This is default featured slide 4 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.

This is default featured slide 5 title

Go to Blogger edit html and find these sentences.Now replace these sentences with your own descriptions.

Tampilkan postingan dengan label MATERI MATEMATIKA EKONOMI 2 (MATRIKS). Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label MATERI MATEMATIKA EKONOMI 2 (MATRIKS). Tampilkan semua postingan

28 Agustus 2013

JENIS-JENIS MATRIKS

7:49:00 AM    No comments

Jenis-jenis matriks dapat dibagi berdasarkan ordo dan elemen / unsur dari matriks tersebut.

Berdasarkan ordo Matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

  • Matriks Bujursangkar adalah matriks yang memiliki ordo n x n atau banyaknya baris sama dengan banyaknya  kolom yang terdapat dalam mtriks tersebut. Matriks ini disebut juga dengan matriks persegi berordo n.
          Contoh : 
  • Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris
          Contoh :    A =  ( 2  1  3  -7 )

  • Matriks Kolom adalah  Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.
          Contoh :   
                            
  • Matriks Tegak  adalah  suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.
          Contah :

  • Matriks datar adalah Matriks  yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.
       Contoh :


Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya matriks  dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :
  • Matriks Nol adalah Suatu matriks   yang setiap unsurnya 0 berordo  m x n, ditulis dengan huruf  O. 
        contoh :
  • Matriks Diagonal adalah  suatu matriks bujur sangkar yang  semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.
       Contah :  

  • Matriks Segi Tiga adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .
       Contoh : 
       Dimana Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

  • Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.
       Contoh :

  • Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf  I.
       Contoh :
  • Matriks Simetri adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j  sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji .
       Contoh : 

Read More

JENIS-JENIS MATRIKS

7:32:00 AM    No comments


Read More

25 Agustus 2013

KONSEP MATRIKS & BAGAN MATRIKS

7:52:00 AM    No comments


Matriks susah gak? Susah-susah gampang.. he ... he ... he :)
Ini ada bagan matriks, tetapi masih konsep dasarnya. ... Untuk yang versi gambar, langsung aja klik gambarnya, kemudian save.. Untuk yang mau .pdf, bisa didownload di bawah
0001

Download   Bagan Matriks Dasar .pdf

Read More

23 Agustus 2013

MATERI MATRIKS WIKIPEDIA

3:47:00 PM    No comments

Materinya dapat dilihat di Matrikswikipedia

Read More

TEORI MATRIKS

3:25:00 PM    No comments

Materi Matriks dapat dilihat disini

Read More

DETERMINAN MATRIKS ORDE 2 DAN 3

3:06:00 PM    No comments

Orde 2x2

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2
A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = ad - bc
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A
Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5\\ \end{bmatrix} = 1x5 - 4x2 = -3

Orde 3x3

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Terbagi tiga jenis yaitu:
  • Dengan Minor dan Kofaktor
  • Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
  • Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama
Determinan dengan Minor dan kofaktor
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A
Pertama buat minor dari a11
M11 = \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} = detM = a22a33 - a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 - a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
\begin{bmatrix} +&-&+&-&+&\cdots\\ -&+&-&+&-&\cdots\\ +&-&+&-&+&\cdots\\ -&+&-&+&-&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \\ \end{bmatrix}
Begitu juga dengan minor dari a32
M32 = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23}\\ \end{bmatrix} = detM = a11a23 - a13a21
Maka kofaktor dari a32 adalah
c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 - a13a21
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode Minor dan kofaktor
Jawab:
c11 = (-1)1+1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} = 1 (-3) = -3
c12 = (-1)1+2\begin{bmatrix} 4 & 4\\3 & 1\\ \end{bmatrix} = -1 (-8) = 8
c13 = (-1)1+3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1 (-7) = -7
det(A) = 1 (-3) + 2 (8) + 3 (-7) = -8
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} - a12\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{bmatrix} + a13\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{bmatrix}
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama

Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix} - a21\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{bmatrix} + a31\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{bmatrix}
= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} - 4\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 2 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 2 & 3\\5 & 4\\ \end{bmatrix} = 1(-3) - 4(-4) + 3(-7) = -8

Metode Sarrus

A = \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode sarrus
Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 2\\ 4 & 5 & 4 & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 & 3 & 2\\ \end{bmatrix} = (1x5x1 + 2x4x3 + 3x4x2) - (3x5x3 + 2x4x1 + 1x4x2) = 53 - 61 = -8

Determinan Matriks Segitiga Atas (Multi Orde)

Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}
Contoh
\begin{bmatrix} 2&7&-3&8&3\\ 0&-3&7&5&1\\ 0&0&6&7&6\\ 0&0&0&9&8\\ 0&0&0&0&4\\ \end{bmatrix} = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

Adjoint Matriks (Orde 3x3)

Bila ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 1&6&3 \\ 2&4&0\\ \end{bmatrix}
Kofaktor dari matriks A adalah
C11 = -12 C12 = 6 C13 = -8
C21 = -4 C22 = 2 C23 = -8
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 8
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
\begin{bmatrix} -12&6&-8\\ -4&2&-8\\ 12&-10&8\\ \end{bmatrix}
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
adj(A) = \begin{bmatrix} -12&-4&12\\ 6&2&-10\\ -8&-8&8\\ \end{bmatrix}
  
 Sumber:
 
 http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Determinan

Read More
Langganan: Komentar (Atom)