INVERS MATRIKS 3 x 3 (RUMUS & CONTOH SOAL) 1

Inverse matrix of 3

There exists an inverse matrix of A when detA = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₃₂a₁₃ + a₃₁a₁₂a₂₃ - a₁₁a₃₂a₂₃ - a₃₁a₂₂a₁₃ - a₂₁a₁₂a₃₃ 0, and it is

Sumber lain:

For a matrix

(5)

the matrix inverse is

Contoh 1:

Carilah invers matriks 3×3 yaitu A =

Penyelesaian:

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.

Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas. Kemudian lakukan Operasi Baris Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan matriks identitas (pada sebelah kanan) yang akan menjadi invers matriks tersebut.

1. baris kedua: B₂ + (-2B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -2 kali baris pertama]
   
   

   baris ketiga : B₃ + (-B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -1 kali baris pertama]

   
   

   

   
   
2. baris ketiga: B₃ + 2B₂ [artinya baris ketiga dijumlahkan dengan 2 kali baris kedua]
   
   
   

   

   
   
3. baris ketiga: B₃ x (-1) [artinya baris ketiga dikali dengan -1]
   
   
   

   

   
   

   
   
4. baris kedua : B₂ + 3B₃ [artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga]
   
   

   baris pertama : B₁ + (-3B₃) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -3 kali baris ketiga]

   
   

   

   
   

   
   
5. baris pertama : B₁ + (-2B₂) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -2 kali baris kedua]
   
   
   

   
   

   
   

Karena matriks kiri sudah terbentuk menjadi matriks identitas, maka invers dari

 matriks A adalah A^-1 =

Contoh 3:

Periksa apakah matriks A_3×3 memiliki invers? Jika, tentukan inversnya, dengan A =

 .

Penyelesaian:

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini, kemudian lakukan Operasi Baris Elementer

 

1. baris pertama : B₁ x (1/3)
   
   
   

   

   
   
2. baris kedua : B₂ + (-2B₁)
   
   
   

   baris ketiga : B₃ + 4B₁

    
   

   
   

Perhatikan matriks sebebelah kiri pada baris kedua dan ketiga. Karena baris kedua dan ketiga memiliki entry yang sama, ini mengakibatkan matriks tersebut memiliki dterminannya nol, sehingga matriks tersebut tidak memiliki invers.

Silahkan download file pdf

Read More

INVERS MATRIKS 4 x 4 (RUMUS & CONTOH SOAL) 1

Inverse matrix of 4 If then there exists an inverse matrix of A, and it is where

Read More

DETERMINAN MATRIKS 2 x 2 (RUMUS & CONTOH SOAL) 1

Setiap matriks persegi mempunyai nilai determinan. Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular. Matriks singular tidak mempunyai invers/balikan.

Untuk matriks B berordo 3 x 3, determinan matriks B ini didefinisikan sebagai berikut menggunakan kaidah Sarrus.

Berikut adalah Contoh perhitungan Determinan Matriks 2 x 2 (poin 1):

Read More

KUMPULAN MATERI & SILABUS MATEMATIKA EKONOMI 2

MATERI:

1.             DASAR-DASAR MATRIKS

2.             DETERMINAN SUATU MATRIKS

3.             INVERS & RANK SUATU MATRIKS

4.             PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN  

5.             ANALISIS  INPUT-OUTPUT   

6.             ROGRAM LINEAR   

7.             TURUNAN FUNGSI MULTIVARIABEL & APLIKASINYA DALAM EKONOMI  

8.             OPTIMISASI FUNGSI MULTIVARIABEL & APLIKASINYA DALAM EKONOMI 

9.             DETERMINAN JACOBIAN & HESSIAN

Silabus Dasar-Dasar Matriks:

1.             Pengertian Matriks

2.             Definisi  dan Notasi Matriks

3.             Dimensi Matriks

4.             Jenis-jenis  Matrik

5.             Operasi  Matriks

6.             Matriks Partisi

7.             Aplikasi dalam Bidang Ekonomi

8.             Latihan Soal-soal/Membedah Kasus

Silabus Materi Determinan Suatu Matriks:

1.             Determinan Tingkat  Dua

2.             Determinan Tingkat  Tiga

3.             Determinan Tingkat  Lebih Tinggi

4.             Sifat-sifat Determinan

5.             Nilai Eigen dan Vektor Eigen

6.             Latihan Soal-soal

Silabus Materi Invers & Ranks Suatu Matriks:

1.             Pengolahan Dasar Matriks

2.             Matriks Ajoint dan Matriks Kofaktor 

3.             Invers suatu Matriks

4.             Rank Suatu Matriks

5.             Latihan Soal-soal

Silabus Materi Persamaan Linear Simultan:

1.             Persamaan Matriks

2.             Sistem Dua Persamaan Linear dengan Dua Variabel

3.             Sistem Tiga Persamaan Linear dengan Tiga Variabel

4.             Penyelesaian Persamaan  Linear Simultan  dengan Menggunakan Matriks

5.             Aplikasi Persamaan Linear Simultan Dalam Ekonomi

6.             Latihan Soal-soal/Membedah Kasus

................................

LITERATUR:

.......................................

Read More

TABEL DURBIN WATSON

Dalam dunia statistik, Uji Durbin Watson adalah sebuah test yang digunakan untuk mendeteksi terjadinya autokorelasi pada nilai residual (prediction errors) dari sebuah analisis regresi. Yang dimaksud dengan Autokorelasi adalah "hubungan antara nilai-nilai yang dipisahkan satu sama lain dengan jeda waktu tertentu".

Uji ini dikemukakan oleh James Durbin dan Geoffrey Watson.

Pada saat anda melakukan deteksi Autokorelasi, anda tidak akan terlepas dengan tabel Durbin Watson. Tabel tersebut menjadi alat pembanding terhadap nilai Durbin Watson hitung.

Anda mungkin telah banyak membaca tentang tabel durbin watson, tetapi mungkin tidak semuanya memuaskan keinginan anda. Sebab sebagian besar tabel tersebut sangat terbatas, baik dalam jumlah sampel (n) atau jumlah variabel (k). Sebagian besar hanya sebatas n = 100 atau n = 200. Bagaimana jika jumlah sampel > 200?

Pada kesempatan ini, kami ingin berbagi sebuah Tabel Durbin Watson dengan jumlah sampel n = 2000 dan jumlah variabel (k) sebanyak k = 21.

Berikut di bawah ini adalah Tabel Durbin Watson lengkap dengan n = 6 - 2000, k = 2 - 21 dan batas kritis 5% (0,05), 2,5% (0,025), 1% (0,01).

Jika anda ingin mengunduhnya, klik link berikut:

DOWNLOAD DURBIN WATSON TABLE
(Jika Muncul jendela Adf.ly, tunggu 5 detik kemudian klik lewati)

Cara membaca Tabel Durbin Watson:

T: Jumlah sampel (n)

k: Jumlah variabel

dL: Batas Bawah Durbin Watson

dU: Batas Atas Durbin Watson

Contoh: Kita melakukan uji regresi linear berganda dengan 2 variabel independen dan 1 variabel dependen dengan jumlah sampel sebanyak 50, didapatkan hasil Durbin Watson Hitung sebesar d = 2,010.

Maka nilai T = 50, k = 3. Selanjutnya pada tabel di atas cari nilai dL dan dU pada T = 50 dan k = 3, yaitu nilai dL = 1,46246 dan dU = 1,62833. Pada contoh di atas, nilai d = 2,010, maka kita hitung terlebih dahulu nilai (4 - d) = 1,990.

Cara menentukan atau kriteria pengujian autokorelasi adalah sebagai berikut:

Deteksi Autokorelasi Positif:

Jika d < dL maka terdapat autokorelasi positif,

Jika d > dU maka tidak terdapat autokorelasi positif,

Jika dL < d < dU maka pengujian tidak meyakinkan atau tidak dapat disimpulkan.

Deteksi Autokorelasi Negatif:
Jika (4 - d) < dL maka terdapat autokorelasi negatif,
Jika (4 - d) > dU maka tidak terdapat autokorelasi negatif,
Jika dL < (4 - d) < dU maka pengujian tidak meyakinkan atau tidak dapat disimpulkan.

Berdasarkan contoh di atas:

Deteksi Autokorelasi Positif:
Jika 2,010 < 1,46246 maka terdapat autokorelasi positif---> Salah
Jika 2,010 > 1,62833 maka tidak terdapat autokorelasi positif---> Benar
Jika 1,46246 < 2,010 < 1,62833 maka pengujian tidak meyakinkan atau tidak dapat disimpulkan---> Salah

Deteksi Autokorelasi Negatif:
Jika 1,990 < 1,46246 maka terdapat autokorelasi negatif---> Salah
Jika 1,990 > 1,62833 maka tidak terdapat autokorelasi negatif---> Benar
Jika 1,46246 < 1,990 < 1,62833 maka pengujian tidak meyakinkan atau tidak dapat disimpulkan---> Salah

Maka dapat disimpulkan: pada analisis regresi tidak terdapat autokorelasi positif dan tidak terdapat autokorelasi negatif sehingga bisa disimpulkan sama sekali tidak terdapat autokorelasi.

Demikian artikel singkat kami tentang Durbin Watson Tabel. Bagaimana untuk mendapatkan nilai Durbin Watson dalam analisis regresi? Baca artikel kami selanjutnya tentang Durbin Watson dalam SPSS..

Read More

UJI HETEROSKEDASTISITAS DALAM EXCEL

Heteroskedastisitas adalah adanya ketidaksamaan varian dari residual untuk semua pengamatan pada model regresi.

Mengapa dilakukan uji heteroskedastitas? jawabannya adalah untuk mengetahui adanya penyimpangan dari syarat-syarat asumsi klasik pada model regresi, di mana dalam model regresi harus dipenuhi syarat tidak adanya heteroskedastisitas.

Bagaimana melakukan uji tersebut? Jawabannya adalah ada beberapa cara, antara lain:

1. Uji Glejser
2. Uji Park
3. Uji Spearman
4. Melihat Grafik

Apakah ke empat uji di atas dapat dilakukan dengan Excel? Jawabannya adalah "Ya."

Bagaimana cara melakukan Uji Heteroskedastisitas dengan Excel? Mari kita bahas satu persatu.

Dalam artikel kali ini kita akan bahas uji yang pertama, yaitu Uji Glejser.

Anggap kita punya sebuah model yang akan diuji, yaitu "Pengaruh nilai ujian Fisika, Biologi dan Matematika Terhadap Rata-rata Nilai SPMB.

Data seperti di bawah ini:

Fisika	Biologi	Matematika	SPMB
78	80	81	82
89	90	91	92
78	79	80	81
90	91	92	90
67	78	79	81
78	79	80	81
80	81	82	83
67	70	71	72
77	78	79	80
56	57	60	61
92	87	88	89
67	68	72	73
63	64	65	66
88	89	90	91
83	84	89	90
82	83	84	85
81	82	83	84
69	70	76	77
90	91	92	93
67	77	78	79
63	64	65	66
88	89	90	91
83	84	85	86
66	67	68	69
81	82	83	84
87	88	89	88
92	93	94	95
98	99	94	90
75	77	78	79
80	81	82	79

Buka Aplikasi Excel anda, dan jangan lupa bahwa "Aplikasi AddIns Data Analysis Toolpak" sudah diaktifkan. Jika belum pelajari caranya pada artikel kami yang berjudul "Mengaktifkan Analysis Toolpak di Excel 2007/2010".

Buat 4 variabel seperti tabel di atas, dan tempatkan pada cell "A1 s/d D31".

Masukkan data di atas dengan cara COPAS.

Klik Menu, Data, Data Analysis, maka akan muncul jendela "Data Analysis" kemudian pilih Regression.

Klik OK maka akan muncul jendela sebagai berikut:

Isi input Y Range dengan: "$D$2:$D$31" artinya merujuk pada variabel dependent (Y) pada kolom D1 s/d D31.

Isi input X Range dengan: "$A$2:$C$31" artinya merujuk pada variabel independent X1, X2 dan X3 pada kolom A1 s/d C31.

Isi Output Range: $F$1, artinya tempat output uji regresi akan muncul di cell F1.

Centang "RESIDUALS" artinya kita ingin mendapatkan nilai residual. Mengapa? Uji Glejser dengan menggunakan metode meregresikan variabel independen dengan nilai Absolut Residualnya. Untuk mendapatkan nilai Absolut Residual kita harus terlebih dahulu mendapatkan nilai Residualnya.

Klik OK.

Maka akan muncul output pada cell F1 seperti di bawah ini: Perhatikan pada cell F26 s/d H56. Ada variabel baru yang bernama "Residuals".

Pada Cell I25 ketikkan label "Absolut Residual".

Pada Cell I26 ketikkan Rumus: "=ABS(H26)" dan kopi pastekan hingga cell I56. Maka kita akan dapatkan nilai "ABSOLUT RESIDUAL". Absoult Residual artinya nilai Absolut dari residual yaitu yang berarti menghilangkan nilai negatif dari residual.

Pada menu klik Data, Data Analysis dan Pilih Regresi seperti langkah Regression sebelumnya, tetapi ubah Input Y Range dengan Rumus: "$I$26:$I$56" artinya kita akan meregresikan semua variabel independen dengan nilai Absolut Residuals". Dan ubah Output Range ke: "$P$1" artinya output akan tampil dimulai dari cell P1.

Lalu klik Continue dan lihat output mulai dari cell "P1"!

Lihat pada kolom "P-Value" yaitu pada Cell "T18 s/d T20". Nilai tersebut adalah nilai Signifikansi atau P Value uji regresi antara variabel independen dengan absolut residual. 

Nilainya jika dibulatkan 3 digit: 

X Variable 1: 0,449. X Variable 2: 0,962. X variable 3: 0,981. (Bandingkan hasil ini dengan hasil pada uji Glejser pada artikel sebelumnya dengan menggunakan SPSS, maka hasilnya akan sama, berarti cara ini telah benar).

Ketiga nilai di atas semuanya nilainya di atas 0,05 yang berati tidak ada gejala heteroskedastisitas atau H0 diterima.

Read More