TEORI FUNGSI NON LINIER

Fungsi non linier adalah fungsi yang grafiknya tidak berupa garis lurus.

Bentuk-bentuk fungsi non linier yang paling sering dijumpai dalam analisis ekonomi adalah:

1. Fungsi kuadrat parabolik

2. Fungsi kubik

3. Fungsi eksponensial

4. Fungsi logaritmik

Dalam modul ini kita hanya akan membahas mengenai Fungsi Kuadrat.

FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua dan grafiknya akan berbentuk parabola.

Keterangan:     Y = a + bX

a, b      : koefisien

X         : variabel bebas

Y         : variabel terikat

Untuk melukis grafiknya kita harus memperhatikan langkah – langkah berikut ini:

1. Titik potong dengan sumbu x dimana y = 0

2. Titik potong dengan sumbu y dimana x = 0

3. Menentukan sumbu simetri, x = -b / 2a

4. Menentukan titik puncak ( -b/2a ; -4ac/-4a)

5. Untuk melengkapu grafik diambil beberapa nilai x dan y secukupnya.

Fungsi kuadrat selalu memiliki nilai ekstrim maksimum atau minimum tergantung pada nilai a, jika:

a > 0, parabola terbuka keatas dan mempunyai nilai minimum.

a < 0, parabola terbuka kebawah dan mempunyai nilai maksimum.

PENERAPAN DALAM EKONOMI

1.             Permintaan, Penawaran, dan Keseimbangan pasar Keseimbangan pasar dtunjukkan oleh persamaan Qd = Qs.

Contoh: Fungsi permintaan dan fungsi penawaran suatu barang masing-masing ditunjukkan oleh persamaan Qd = -6 + 14 dan Qs = -3 - 13.

Hitunglah harga dan jumlah keseimbangan pasarnya !

2.             Dik: Qd = -6 + 14P       Qs = -3 – 13P

Dit: Pe dan Qe ?

Jawab:

Fungsi biaya Dalam konsep biaya dikenal pengertian biaya tetap, biaya variabel, biaya total. Ada pula pengertian dari biaya rata-rata dan biaya marginal. Biaya rata-rata adalah biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit produk atau keluaran. Adapun biaya marginal adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk.

·                Biaya Tetap (Fixed Cost) FC = k (konstanta).

·                Biaya variabel (Variable Cost) VC = F(Q).

·                Biaya Total (Total Cost) TC = FC + VC.

·                Biaya Marginal (Marginal Cost) MC = ∆TC / ∆Q.

·                Biaya Rata-rata (Average Cost) AC = TC / Q.

Contoh:

Fungsi biaya total perusahaan elektronik PT. BOLANG ditunjukkan oleh persamaan TC = 3 + 16Q + 48Q – 80.

Hitunglah:

a.       Besarnya biaya total dan biaya rata – rata pada saat Q = 15

b.      Besarnya biaya marginal apabila kuantitas produksi meningkat sebesar 7 Dik : TC = 3 + 16Q + 48Q – 80 Dit : a. TC dan AC jika Q = 15 ? b. MC jika kuantitas menjadi Q = 22 ?

c.       Analisislah

Jawab:

a.       TC = 3 + 16Q + 48Q – 80 = 3 + 64Q – 80 Q = 15, = 3 + 64 (15) – 80 = 675 + 960 – 80 = 1.555 Q = 15, maka AC = TC / Q = 1.555 / 15 = 103, 67 ≈ 104.

b.      MC = ∆TC / ∆Q Q = 22, TC = 3 + 64Q – 80 = 3 + 64 (22) – 80 = 1.452 + 1.408 – 80 = 2.780 MC = ∆TC / ∆Q = (2.780 – 1.555) / (22 – 15) = 175.

c.       Analisis: Pada saat perusahaan memproduksi sebanyak 15 unit maka biaya total yang akan dikeluarkan perusahaan sebesar Rp. 1.555,- dengan biaya rata – rata sebesar Rp. 104,-. Namun, jika kuantitas meningkat sebesar 7 unit, maka perusahaan memerlukan biaya tambahan sebesar Rp. 175,- 3.

Fungsi Penerimaan  Penerimaan Total Penerimaan rata-rata Penerimaan Marginal

Contoh:

Fungsi permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen monopolis ditunjukan oleh P = 720 – 0,6 Q. Jika penjualan yang icapai selama beberapa bulan ini sebanyak 500 unit, maka

Hitunglah:

a.       Bagaimanakah persamaan Total Revenue yang diperoleh dari data diatas.

b.      Berapakah besarnya penerimaan total harga jual per Unit pada saat penjualan mencapai 500.

c.       Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimal.

d.      Berapakah Total Revenue pada saat Q maksimal.

e.       Analisislah Dik : P = 720 – 0,6 Q :Jika Q = 500.

Jawab:

a.       TR = P x Q = (720 - 0,6Q) Q = 720Q - 0,6Q2.

b.      TR jika Q = 500 TR = 720Q - 0,6Q2 TR = 720(500) - 0,6(500)2 TR = 360000 - 0,6(250000) TR = 360000 – 150000 TR = 210000.

c.       TR maksimal pada Q = -b / 2a = - 720 / 2(-0,6) = -720/-1,2 = 600.

d.      TR pada saat Q = 600 TR = 720Q - 0,6Q2 TR = 720(600) - 0,6(600)2 TR = 432000 - 0,6(360000) TR = 432000 – 216000 TR = 216000.

e.       Analisis : total penerimaan maksimum berada pada saat penjualan sebesar 600 unit dengan total revenue sebesar Rp 216000 dan apabila perusahan mempoduksi sebesar 500 unit maka TR yang diperoleh adalah Rp 210000.

Laba / Rugi TR > TC => laba TR < TC => Rugi

Contoh: :
Fungsi permintaan dan fungsi biaya suatu perusahaan masing – masing ditunjukkan oleh persamaan P = -0,5Q + 60 dan TC = 3 - 14Q – 4500. Apabila perusahaan memproduksi sebanyak 15 unit menjadi 25 unit, maka perusahaan akan memperoleh laba / rugi ?

Dik: P = -0,5Q + 60

TC = 3 - 14Q – 4500

Dit : Laba / rugi, jika Q = 15 dan Q = 25

Jawab :

TR = P x Q

= (-0,5Q + 60) Q

= -0,5 + 60Q

Laba = TR – TC

= -0,5 + 60Q – (3 - 14Q – 4500)

= -0,5 + 60Q - 3 + 14Q + 4500

= - 3,5 + 74 Q + 4500

Q = 15, Laba / Rugi = -3,5 + 74 Q + 4500

= -3,5 ( ) + 74 (15) + 4500

= 4.822,5 (LABA)

Q = 25, Laba / Rugi = -3,5 + 74 Q + 4500

= -3,5( ) + 74 (25) + 4500

= 4.162,5 (LABA)

Analisis :
Pada saat perusahaan memproduksi 15 dan 25 unnit, perusahaan akan memperoleh laba masing-masing sebesar 4.822,5 dan 4.162,5.

Kurva Transformasi

Kurva transformasi adalah kurva yang menunjukkan pilihan kombinasi jumlah produksi dua macam barang dengan menggunakan masukan yang sama sejumlah tertentu karena kurva transformasi produk mencerminkan pilihan kombinasi produksi, maka penambahan jumlah produk yang satu akan mengurangi jumlah produk yang lain.

Contoh:

Sebuah pabrik boneka menghasilkan barbie dan micky. Kurva transformasi produk ditunjukkan oleh persamaan 3B2 + 4M2 = 500. Berapa potong barbie dan micky paling banyak dapat diproduksi dan berapa barbie dapat diproduksi jika pabrik memproduksi 5 buah micky?

Jawab:

Dik: kurva transformasi 3B2 + 4M2 = 500

Dit: jumlah barbie dan micky terbanyak, jumlah barbie yang diproduksi jika diproduksi 5 micky?

Jawab:

Jumlah barbie terbanyak M=0 3B2+4(0)2 = 500

B2 = 166,67

B = 12,9 = 13

Jumlah micky terbanyak B=0 3(0)2+4M2 = 500

M2 = 125

C = 11,18 =11

Jika M=5 3B2+4(5)2 = 500

3B2 = 500 – 100

B2 = 133,33

B = 11,55 = 12

Analisis:

Jadi, jumlah barbie dan micky terbanyak masing-masing adalah 13 potong baju dan 11 buah boneka, sedangkan jumlah barbie yang diproduksi jika diproduksi 5 micky adalah 12 buah boneka.

Contoh: :
Kurva transformasi PT. Abadi (X-21)(Y-36) = 85 dengan syarat X < 25 maka tentukanlah berapa jumlah produk X dan Y yang dapat diproduksi

a.       Hitunglah berapa produk X dan Y maksimal yang dapat diproduksi PT. Abadi.

b.      Permintaan X melebihi produk Y sebanyak 5 Unit

Jawab

a.       (X-21)(Y-36) = 85

X terbesar jika Y = 0 Y terbesar jika X = 0

(X-21)(Y-36) = 85 (X-21)(Y-36) = 85

(X-21)(0-36) = 85 (0-21)(Y-36) = 85

-36X + 756 = 85 -21Y + 756 = 85

-36X = 85 – 756 -21 Y = -671

-36X = -671 Y = 32

X = 19

b.      X = 5 + Y

(X – 21) (y-36) = 85

(5 + Y – 21) (Y-36) = 85

(Y – 16)(Y - 36) = 85

Y2 – 36 Y – 16Y + 576 – 85 = 0

Y2 – 52Y + 491 = 0

Y1,2 = -b ± √b2 – 4ac

2a

= 52 ± √(-52)2 – 4(1)(491)

2(1)
= 52 ± √2704 - 19642

= 52 ± √7402

Y1 = 52 + 27,2/2 Y2 = 52 – 27,2 / 2

= 79,2 / 2 = 24,8 / 2

Y1 =39,6 Y2 = 12,4

X1 =44,6 X2 = 17,4.

Analisis: apabila perminyaan produk X melebihi produk Y sebanyak 5 unt dan berdasarkan syarat yang ada yaitu x < 25 maka akan diperoleh produk X sebesar 17,4 dan Y sebesar 12,4.