DIFERENSIAL SEDERHANA / FUNGSI TURUNAN
SEDERHANA
Jika
f(x) adalah suatu fungsi, maka notasi turunan pertama dari fungsi f(x) adalah
f’(x) = df/dx.
Bentuk
umum :
f(x) = axn
f’(x)
= n. ax n-1
f’(x)
= df/dx
Contoh:
1.
Diket f(x) = 5x2. Tentukan turunan
pertama dari f(x)?
Jawab:
F(x) = 5x2
F(x) = 2.5x 2-1
= 10 x1 = 10 x
2.
Diket f(x) = 3x. Tentukan turunan pertama dari
f(x)?
Jawab:
F(x) = 3x
F’(x) = 1.3x 1-1
= 3x 0 = 3
3.
Diket f(x) = 6. Tentukan turunan pertama dari
f(x) ?
Jawab:
F(x) = 6 →6x 0
F’(x) = 0.6x 0-1 = 0
4.
Diket f(x) = 5x 3 – 4x 2 +
3x + 7. Tentukan f’(x)?
Jawab:
F(x) = 5x 3 – 4x 2 + 3x + 7
F’(x) = 15x 2 – 8x + 3
5.
Diket f(x) = 10x 4 – 5x 2 + 4x. Tentukan f’(2)?
Jawab:
F(x) = 10x 4 – 5x 2 + 4x
F’(x) = 40x 3 – 10 x + 4
F’(2) = 40 (2)3 – 10 (2) + 4
= 320 – 20 + 4
= 304
Fungsi stasioner, Fungsi Naik & Fungsi
Turun
Gambar
Suatu
fungsi f(x) dikatakan:
Fungsi stasioner, jika f’(x) = 0
Fungsi naik, jika f’(x) > 0
Fungsi turun, jika f’(x) < 0
Tanda :
+ ( fungsi naik)
_ ( fungsi turun)
0 (fungsi tidak naik-turun)
Contoh:
1.
Diket fungsi f(x) = x 2 – 6x + 12
Tentukan :
a.
Interval fungsi stasioner
b.
Interval fungsi naik
c.
Interval fungsi turun
d.
Buat sketsa grafik
Jawab:
a.
F(x) = x 2 – 6x + 12
Fungsi stasioner f’(x) = 0
2x
– 6 = 0
2x = 6
X = 3
b.
Fungsi naik, f’(x) > 0
2x – 6 > 0
2x > 6
X > 3
c.
Fungsi turun, f’(x) < 0
2x – 6 < 0
2x < 6
X < 3
d.
Grafik
2.
Diket fungsi f(x) = x 3 – 6x 2
+ 9x + 18
Tentukan :
a.
Interval fungsi stasioner
b.
Interval fungsi naik
c.
Interval fungsi turun
d.
Buat sketsa grafik f(x)
Jawab:
a.
F (x) = x 3 – 6x 2 + 9x +
18
F’(x) = 3x 2 – 12x + 4 - 3
= x 2 – 4x + 3
(x
– 1) (x – 3)
X
1 = 1 x . x 2 = 3
b.
F’(x) > 0 → (+++)
+++ --------- +++ x < 1 v x > 3
1 2
Titik uji di f(x)
c.
F(x) < 0 → (---)
1 < x = 3
d.
Grafik
3.
F(x) = 2x 2 – 9x 2 + 12x + 20
Tentukan :
a.
Interval fungsi stasioner
b.
Interval fungsi naik
c.
Interval fungsi turun
d.
Buat sketsa grafik f(x)
Jawab:
a.
F(x) = 2x 3 – 9x 2 + 12x +
20
F’(x) = 6x 2 – 18x + 12
F’(x) = x 2 – 3x + 2 = 0
(x
– 1) (x – 2)
X 1 = 1 x 2 = 2
b.
F’(x) > 0 → (+++)
+++ ---- +++
1 2
X < 1 V x > 2
c.
F’(x) < 0 → (---)
1 < x < 2
d.
Grafik
Nilai Stasioner Suatu
Fungsi F(x)
Adalah memasukan harga x yang didapat pada syarat stasioner
ke fungsi semula (fungsi sebelum diturunkan).
Nilai stasioner
1.
Nilai balik maksimum
2.
Nilai balik minimum
3.
Nilai belok horizontal
Contoh:
1.
Diket f(x) = x 2 – 6x + 12
Tentukan:
a.
Fungsi stasioner
b.
Fungsi naik
c.
Fungsi turu
d.
Nilai stasioner & jenisnya
e.
Grafik
Jawab:
a.
F(x) = x 2 – 6x + 12
F(x) = 0
2x – 6= 0
2x = 6
X = 3
b.
F’(x) > 0
2x – 6 > 0
2x > 6
X > 3
c.
F’(x) < 0
2x – 6 < 0
2x < 6
X < 3
d.
X = 3
F(x) = x 2 – 6x + 12
F(3) = 3 2 – 6(3) + 12
= 9 – 18 + 12
= 3
F(x) = 2x – 6
F(x) = 2 →
> 2 > 0
e.
Grafik
FUNGSI TURUNAN /
DIFFERENSIAL SEDERHANA
Konsep :
Jika f(x) adalah suatu fungsi yang menyatakan : F(x) = ax n,
maka fungsi turunannya dinotasikan dengan:
F’(x) = dx = nax n-1
dy
Contoh:
1.
Jika f(x) = 5x 3, tentukan fungsi
turunan pertama dari f(x)?
Jawab:
F(x) = 5x 3
F’(x) = 15 x 2 → f”(x) 30 x
2.
F(x) = 6x 2 → f’(x) = 12x
3.
F(x) = 7x → f’(x) = 7
4.
F(x) = 5x → f’(x) = 5
5.
F(x) = 12 → f’(x) = 0
6.
F(x) = 5x 4 – 4x 3 + 2x +
7
F’(x) = 20x 3 – 12x 2 + 2
7.
Diket fungsi f(x) = 5x 3 – 4x 2 + 3. Tentukan
F’(2)?
Jawab:
F’(x) = 15x 2 – 8x
F’(2) = -15 (2) 2 – 8(2)
= 60 – 16
= 44
Fungsi Stasioner, Fungsi Naik dan Fungsi
Turun
Gambar
Suatu
fungsi f(x) dikatakan:
1.
Fungsi stasioner, jika f’(x) = 0
2.
Fungsi naik, jika f’(x) > 0 (+++)
3.
Fungsi turun, jika f’(x) < 0 (---)
Contoh
:
1.
Diket fungsi f(x) = x 2 – 4x + 8. Tentukan
a.
Fungsi stasioner interval
b.
Fungsi naik interval
c.
Fungsi turun interval
d.
Sketsa grafik
Jawab:
a.
Fungsi f (x) = x 2 – 4x + 8
Fungsi stasioner 4(x) = 0
2x
– 4 = 0
2x = 4
X = 2
b.
Fungsi naik f’(x) > 0
2x – 4 > 0
2x > 4
X > 2
c.
Fungsi turun f’(x) < 0
2x – 4 < 0
2x < 4
X < 2
d.
Gambar Grafik
2.
F(x) = x 2 – 6x + 18
Jawab:
a.
Fungsi stasioner, f’(x) = 0
2x – 6 = 0
2x = 6
X = 3
b.
Fungsi naik, f’(x) > 0
2x > 6
X > 3
c.
Fungsi turun, f(x0 < 0
X < 3
d.
Gambar grafik
3.
F(x) = -3x 2 + 18x – 20
Jawab:
a.
Fungsi stasioner, f’(x) = 0
-6x + 18 = 0
-6x = -18
X = 3
b.
Fungsi naik, f’(x) > 0
-6x + 18 > 0
-6x > -18
X < 3
c.
Fungsi turun, f’(x) < 0
-6x < -18
X > 3
d.
Gambar grafik
4.
F(x) = x 3 – 6x 2 + 9x +
21
Jawab:
Fungsi stasioner, f’(x) = 0
a.
3x 2 – 12x + 9 = 0 - 3
X 2 – 4x + 3 = 0
(x – 1) (x – 3)
X1 = 1 V x2
= 3
b.
Fungsi naik, f’(x) > 0 (+++)
+++ ---- +++
1 2
X < 1 V x > 3
c.
Fungsi turun, f’(x) < 0 (---)
X < 3 → 1 < x < 3
d.
Gambar grafik
SOAL :
1.
Diketahui fungsi F(x) = 3x 2 – 24x +
31. Tentukan:
a.
Interval fungsi stasioner
b.
Interval fungsi naik
c.
Interval turun
d.
Sketsa grafik
Jawab:
a.
Fungsi F(x) = 3x 2 – 24x + 31
Fungsi stasioner, F’(x) = 0
6x –
24 = 0
6x = 24
X = 4
b.
Fungsi naik, F’(x) > 0
6x – 24 > 0
6x > 24
X > 4
c.
Fungsi turun, F < 0
6x – 24 < 0
6x < 24
X < 4
d.
Gmbar grafik
2.
F(x) = 2x 3 – 15x 2 + 24 +
92
a.
Fungsi stasioner, F’(x) = 0
6x 2 – 30x + 24 = 0
X 2 – 5x + 4 = 0
(x-1) (x-4)
X1 = 1 V x2 = 4
b.
Fungsi naik, F’(x) > 0 (+++)
+++ ---- +++
1 4
X < 1 V x > 4
c.
Fungsi turun, F’ < 0
6x – 24 < 0
6x < 24
X < 4
d.
Gambar grafik
Nilai Stasioner Suatu
Fungsi
Jika F(x) adalah suatu fungsi, maka mencari nilai F(x)
adalah dengan memasukan harga x yang didapat pada syarat stasioner. Hal yang
demikian disebut Nilai Stasioner Fungsi
F(x)
Jenis Nilai Stasioner
a.
Nilai balik maksimum
F”(x) < 0, ( + 0 - )
b.
Nilai balik minimum
F”(x) > 0, ( - 0 + )
c.
Nilai belok horizontal
F”(x) = 0
Contoh
Soal:
1.
Diketahui fungsi F(x) = x 2 – 4x + 8. Tentukan :
a.
Nilai stasioner fungsi tersebut dan apa jenis
nilai stasionernya.
b.
Buat grafik
Jawab:
a.
F(x) x 2 – 4x + 8
Fungsi stasioner = F’(x) = 0
2x
– 4 = 0
2x
= 4
Nilai stasioner : x = 2
F(x) = x 2 – 4x + 8
F(2) = 2 2 – 4x + 8
= 4
Jenis : F’(x) = 2x – 4
F”(x) = 2 → 2 > 0
b.
Gambar grafik
2.
F(x) = 2x 3 – 15x 2 + 24x + 92
Jawab:
a.
F’(x) = 0
6x 2 – 30x + 24 = 0
: 6
X 2 – 3x + 4 = 0
(x-1) (x-4)
X 1 = 1 V x 2
= 4
Nilai stasioner
X 1 → 2(1) 3 – 15(1) 2 + 24 + 92
= 2 – 15 + 24 + 92
= 103
X 4 → 2(4) 3 – 15(4) 2 + 24(4) + 92
= 2(64) – 15 (16) + 96 + 92
= 128 – 240 + 96 + 92
= 76
Jenis :
X = 1 → F(1) = 103
F(x) = 2x 3 – 15x 2 + 24x + 92
F(x) = 6x 2 – 30x + 24
F(x) = 12x – 30
F(x) = 12(1) – 30
= -18 → - 18 < 0
F(1) = 103 → nilai balik maksimum
X = 4 → F(4) = 76
F(x) = 2x 3 – 15x 2 + 24x + 92
F’(x) = 6x 2 – 30x + 24
F”(x) = 12x – 30
F”(4) = 12(4) – 30
= 18 → 18 > 0
F(4) = 76 → nilai balik maksimum
b.
Gambar grafik
3.
F(x) = x 3 – 6x 2 + 9x +
32
Jawab:
0 komentar:
Posting Komentar