NILAI EIGEN & VEKTOR EIGEN

Definisi A.1:

Jika A matriks berordo (nxn) dan l suatu scalar yang memenuhi persamaan Ax = lx untuk suatu vector kolom tak nol dalam ruang dimensi n, maka :

1. l disebut nilai eigen (Eigen Value) atau akar-akar karakteristik dari matriks A.
2. X disebut vector eigen (Eigen Vektor) atau vector karakteristik dari matriks A.
3. Vektor-vektor eigen x membentuk ruang vector eigen dari A yang bebas linier dan disebut basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen l.

Theorema A.1 :

Jika A adalah matriks berordo nxn maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lainnya :

1. l adalah nilai eigen dari matriks A.
2. Sistem persamaan (A - lI ) x = 0 mempunyai penyelesaian non trivial.
3. Ada vector tak nol x dalam Rⁿ sehingga Ax = lx
4. l adalah penyelesaian riil dari persamaan eigen : det (A - l I) = 0

Nilai eigen diperoleh dari persamaan :            Ax = l I x

Ax - l I x = 0

(A - l I) x = 0

persamaan tersebut merupakan Persamaan linier Homogen dan mempunyai penyelesaian jika maksimum rank (A-l I) lebih kecil dari banyaknya variable n atau dengan perkataan lain : det (A - l I) = 0

Vector eigen  dan ruang vector Eigen diperoleh dengan mensubstitusikan nilai eigen l ke persamaan Ax = lx

Contoh A.1:

Diketahui matrks      

Tentukan :       a). Persamaan Eigen

b). Nilai Eigen

c). Vektor Eigen

d). Basis Vektor Eigen

J a w a b  :

a).        det (A - l I) = 0

     

   (1 - l) (3 - l) – 8 = 0

  3 – 4l + l² – 8 = 0

  l² – 4 l - 5 = 0

b).        l² - 4l - 5 = 0

       (l - 5) (l + 1) = 0

      l₁= 5   dan   l₂ = -1

Jadi nilai eigen : l₁ = 5   dan    l₂ = -1

c).     Vektor eigen untuk l₁ = 5

      (A - l I) x = 0

SPL Homogen di atas diselesaikan sbb :

       sehingga Rang (A - l I) = 1

Karena rank (A - l I) < banyaknya variabel x yaitu 1 < 2 maka SPL Homogen tersebut mempunyai penyelesaian sbb :

Baris kedua dari matriks terakhir :      x₁ – x₂ = 0

x₁ = x₂

Jika diambil x₂ = a (parameter) maka x₁ = x₂ = a,  sehingga x =

Jadi vector eigen untuk l₁ = 5 adalah x = a dengan a sembarang.

Vektor Eigen untuk l₂ = -1

(A - l I) x = 0

SPL Homogen di atas diselesaikan sbb :

   sehingga Rank (A - l I) = 1

Karena rank (A - l I) < banyaknya variable x yaitu 1 < 2 maka SPL homogen tersebut mempunyai penyelesaian sbb :

Baris kedua dari matriks terakhir :      2x₁ + 4x₂ = 0

2x₁ = -4x₂

x₁ = -2x₂

Jika diambil x₂ = a (parameter),  maka x₁ = -2a, sehingga:

Jadi vector eigen untuk l₂ = -1 adalah x = a dengan a sembarang.

d).       Basis vector Eigen

      Basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan x₁=5 adalah =

Basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan x₂ = -1 adalah

Contoh A.2 :

Diketahui matriks 

Tentukan :       a). Persamaan eigen

b). Nilai Eigen

c). Vektor Eigen

d). Basis Vektor Eigen

J a w a b :

a).        det (A - l I) = 0

 (3 - l)(3 - l)(5 - l) + 0 + 0 – 0 – 0 - (5 - l)(- 2) (-2) = 0

 (9 - 6l - l²) (5 - l) – 4 (5 - l) = 0

 (5 - l)(9 - 6l + l² - 4) = 0

 (5 - l)(l² - 6l + 5) = 0

 (5 - l) (l - 1) (l - 5) = 0

Jadi persamaan eigen : (l - 5)²  (l-1) = 0

b).       Nilai eigennya adalah : l₁₂ = 5   dan    l₃ = 1

c).     Vector eigen untuk l₁₂ = 5

SPL Homogen diselesaikan sbb :

Jadi, rank (A - l I) = 1  dan karena n = 3, maka ada : 3 – 1 = 2 parameter

Karena rank (A - l I) < banyaknya variable x yaitu 1 < 3 maka SPL homogen tersebut mempunyai penyelesaian sbb :

Baris ke-1 dari matriks terakhir :         -2x₁ – 2x₂ = 0

-2x₁ = 2x₂

x₁ = -x₂

Jika diambil x₂ = a  dan   x₃ = b maka x₁ = -a sehingga :

Jadi vector Eigen untuk l₁₂ = 5 adalah       a, b  sembarang

         Vektor eigen untuk l₃ = 1

SPL Homogen tersebut dapat diselesaikan sbb :

Jadi, rank (A - l I) = 2  dan karena n = 3, maka ada : 3 – 2 = 1 parameter

Misal diambil x₂ = g  sehingga : x₁ – x₂ = 0 (diambil dari baris ke-1 dan ke-3)

                                     x₁ = x₂ = g

                                     x₃ = 0

Jadi

Jadi vector Eigen untuk l = 1 adalah     g sembarang

d).        Basis ruang untuk l₁₂ = 5 adalah :   

 dan  basis ruang untuk l₃ = 1 adalah

Dalam mendapatkan nilai eigen mungkin akan diperoleh satu nilai eigen yang bukan bilangan riil yaitu bilangan kompleks. Jika terjadi hal yang demikian maka kita katakana bahwa matriks tersebut tidak mempunyai nilai eigen.

A.2  DIAGONALISASI  MATRIKS

Definisi A.2 :

Matriks kuadarat A dikatakan dapat di diagonalisasi jika ada matriks  P yang dapat dibalik sehingga matriks (P^-1AP) merupakan matriks diagonal dan mattriks P dikatakan mendiagonalisasi matriks A.

Theorema A.2 :

Jika {v₁, v₂, v_3­, ………….,v_n} adalah vector-vektor eigen matriks A yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen yang berbeda l₁, l₂, l₃,…………….. l_n maka  {v₁, v₂, v_3­, ………….,v_n} adalah himpunan vector yang bebas linier.

Teorema A.3 :

Jika A adalah matriks berordo nxn maka pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain :

1.      Matriks A dapat didiagonalisasi

2.      Matriks A mempunyai n vector eigen bebas linier.

Teorema A.4 :

Jika matriks A berordo nxn mempunyai n nilai eigen yang berbeda maka matriks A dapat didiagonalisasi.

Adapun untuk mendiagonalosasi matriks A adalah sbb :

1. Carilah nilai eigen riil dari matriks A
2. Carilah n vector eigen bebas linier
3. Bentuklah matriks p yang vector-vektor kolomnya adalah v₁, v₂, v_3­, …….,v_n
4. Carilah P^-1
5. Bentuklah (P^-1AP) yang merupakan matriks diagonal dimana entri-entri diagonalnya adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan vector eigen v₁, v₂, v_3­, ………….,v_n.

Contoh A.3   :

Carilah matriks P yang mendiagonalisasi matriks A dimana :

J a w a b :

·         Telah dicari bahwa matriks A nilai eigennya adalah l₁₂ = 5 dan l₃ = 1

·         Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen adalah untuk

·        

·         Untuk mencari P^-1 sbb :

     

     

     

     

J a d i ,              

Sehingga,        P^-1 A P

               

Keterangan :

1.      Entri-enteri diagonal pada matriks diagonal (P^-1 A P) adalah merupakan nilai-nilai eigen matriks A, yaitu : l_1,2 = 5 dan l₃ = 1

2.      Penempatan vector eigen {v₁, v₂ , v₃} pada matriks p akan mempengaruhi letak  entri diagonal, pada matriks diagonal (P^-1 A P)

Contoh 5.4  :

Apakah matriks       dapat didiagonalisasi ?

J a w a b :

det (A - l I) = 0

 (-3 - l) (1- l) – (-2)(2) = 0

  -3 + 2l +  l² + 4 = 0

   l² + 2l + 1 = 0

  (l + 1) (l + 1) = 0

              l_1,2 = -1

Vektor eigen untuk l_1,2 = -1

 (A - l I) x = 0

SPL Homogen di atas dapat diselesaikan sbb :

 

Jadi, rank (A - l I) = 1  dan karena n = 2, maka ada : 2 - 1 = 1 parameter

Misal diambil x₂ = a  sehingga :         -x₁ + x₂ = 0      (diambil dari baris ke-1 dan ke-3)

                                              x₁ = x₂ = a

Jadi

Karena matriks A tidak mempunyai dua vector eigen yang bebas linier, maka matriks A tidak dapat didiagonalisasi.

A.3             DIAGONALISASI  ORTHOGONAL

Definisi A.3  :

Matriks kuadarat A dikatakan matriks simetri bila matriks A = A^t

Theorema  A.5  :

Jika A adalah matriks simetrik maka vector-vektor eigen yang berbeda akan orthogonal.

Definisi A.4  :

Matriks simetrik A dikatakan dapat didiagonalisasi secara orthogonal jika ada matriks p yang orthogonal, sehingga matriks (p^t A p) merupakan matriks diagonal.

Adapun untuk mendiagonalisasi matriks simetrik secara orthogonal dilakukan langkah-langkah sbb :

1.      Tentukan persamaan eigen

2.      Tentukan nilai eigen

3.      Tentukan vector eigen

4.      Tentukan basis ruang eigen

5.      Tentukan vector eigen orthonormal

6.      Bentuklah matriks P

7.      Bentuklah matrks P^t

8.      Bentuklah matriks diagonal P^t A P

Contoh A.5  :

Carilah matriks P yang mendiagonalisasi matriks A secara orthogonal. Kemudian tentukan P^t A P jika :

J a w a b  :

a). Persamaan eigen

det (A - l I) = 0

 (4 - l)(4 - l)(4 - l) + 2.2.2 + 2.2.2 – (2(4 - l).2 + 2.2(4 - l) + (4 - l) 2.2) = 0

  (16 - 8l + l²) (4 - l) + 16 – 12 (4 - l) = 0

  (64 - 32l + 4l²- 16l + 8l² - l³ + 16  - 48 +12l) = 0

  -l³ + 12l² – 36l + 32 = 0

   l³ - 12l² + 36l - 32 = 0

  (l - 2) (l - 2) (l - 8) = 0

b).  Nilai eigen :  l_1,2 = 2   dan   l₃ = 8

c).  Vektor eigen

Untuk l_1,2 = 2   maka  SPL Homogen (A - lI)x = 0  sehingga :

 =

SPL Homogen di atas dapat diselesaikan sbb :

Jadi, rank (A - l I) = 1  dan karena n = 3, maka ada : 3 - 1 = 2 parameter

Misal diambil x₂ = α   dan  x₃ = β maka :        x₁ + x₂ + x₃ = 0

x₁ = -x₂ – x₃

x₁ = -α – β

sehingga :

           

Untuk λ₃ = 8  maka  SPL Homogen (A-lI)x = 0  sehingga  :

SPL Homogen berikut dapat diselesaikan sbb :

Jadi, rank (A - l I) = 2  dan karena n = 3, maka ada : 3 - 2 = 1 parameter

Misal diambil x₃ = γ sehingga  x₁ – x₃ = 0 (baris ke-1)

                                                  x₁ = x₃ = γ

                                                  x₂ – x₃ = 0 (baris ke-2)

                                                  x₂ = x₃ = γ

Jadi : 

d).  Basis ruang eigen

Basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ_1,2 = 2 adalah :

                                                                                               

Basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ₃ = 8 adalah :

e).  Vektor eigen orthonormal

Vektor eigen orthonormal v₁ dan v₂ yang bersesuaian dengan λ_1,2 = 2 diperoleh dari ;

U₁ = [-1, 1, 0] dan U₂ = [-1, 0, 1] sebagai berikut :

Vektor eigen orthonormal v₃ yang bersesuaian dengan λ₃ = 8

 yaitu sbb :

f). Matriks P  :

g). Matriks P^t  :

           

h). Matriks P^t A P  :

P^t A P =

            =

= =

SOAL LATIHAN :

1.                  Carilah persamaan karakteristik dari matrik  A =

2.                  Carilah persamaan karakteristik dari matrik  A =

3.                  Carilah semua akar karakteristik dari matrik  A =  

4.                  Carilah nilai eigen matriks- matriks pada latihan 1, 2, dan 3

5.                  Pada latihan  1, 2, dan 3, tentukanlah apakah A dapat didiagonalisasi. Jika demikian halnya, carilah matriks P yang mendiagonalisasi A, dan tentukanlah P^-1AP